Chiusura del complemento e complemento dell'interno di un insieme
La chiusura del complemento di un insieme A è uguale al complemento dell'interno dell'insieme A. $$ \text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A) $$
Questa relazione mostra una dualità interessante tra i concetti di chiusura e interno nel contesto dei complementi di insiemi in uno spazio topologico.
Un esempio pratico
Considero lo spazio topologico \( X=\mathbb{R} \) con la topologia standard, dove gli insiemi aperti sono gli intervalli aperti e le loro unioni.
Prendo come esempio un insieme \( A \subseteq X = \mathbb{R} \) composto dall'intervallo chiuso \( A = [1, 2] \).
Per verificare la proprietà suddivido l'esercizio in due parti in cui calcolo la chiusura del complemento di A e il complemento dell'interno di A
1] La chiusura del complemento di A
Il complemento di A in \( \mathbb{R} \) è X-A
$$ X - A = \mathbb{R} - [1, 2] = (-\infty, 1) \cup (2, \infty) $$
Per trovare la chiusura del complemento dell'insieme A, devo aggiungere i punti di accumulazione di \( (-\infty, 1) \cup (2, \infty) \).
In questo caso il complemento di \( A \) è un'unione di insiemi aperti e i punti 1 e 2 sono i punti di accumulazione, perché ogni intorno di 1 contiene punti di \( (-\infty, 1) \) e ogni intorno di 2 contiene punti di \( (2, \infty) \).
Quindi, la chiusura del complemento di A è
$$ \text{Cl}(X - A) = \text{Cl}((-\infty, 1) \cup (2, \infty)) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$
2] Il complemento dell'intorno di A
L'interno di A = [1, 2] è l'intervallo aperto che è contenuto in A. Quindi:
$$ \text{Int}(A) = (1, 2) $$
Il complemento dell'interno di A è X-Int(A)
$$ X - \text{Int}(A) = \mathbb{R} - (1, 2) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$
3] Conclusione
La chiusura del complemento di A e il complemento dell'intorno di A fanno riferimento allo stesso intervallo.
$$ \text{Cl}(X - A) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$
$$ X - \text{Int}(A) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$
Quindi, l'uguaglianza \(\text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A)\) è soddisfatta.
La dimostrazione
Considero un insieme \( A \subseteq X \) nello spazio tologico X.
La chiusura del complemento di \( A \) è l'insieme di tutti i punti che sono nel complemento di A più tutti i suoi punti di accumulazione.
$$ \text{Cl}(X - A) $$
Il complemento dell'interno di A è l'insieme di tutti i punti che non sono nell'interno di A.
$$ X - \text{Int}(A) $$
Per dimostrare che \(\text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A)\) faccio due considerazioni:
- \( \text{Cl}(X - A) \subseteq X - \text{Int}(A) \)
Se un punto x appartiene a Cl(X-A), allora ogni intorno di x contiene almeno un punto di X-A. Questo implica che x non può essere un punto interno di A, poiché altrimenti ci sarebbe un intorno di x contenuto completamente in A. Quindi, il punto x non appartiene all'interno Int(A), il che implica che x appartiene al complemento dell'interno ossia a X-Int(A). - \( X - \text{Int}(A) \subseteq \text{Cl}(X - A) \)
Se un punto x appartiene a X-Int(A), allora x non è un punto interno di A. Questo significa che ogni intorno di x contiene almeno un punto che non è in A, ovvero un punto che appartiene a X-A. Pertanto, il punto x appartiene alla chiusura di X-A.
Una volta dimostrato entrambe le inclusioni, posso concludere che:
$$ \text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A) $$
Questa relazione mostra una dualità tra i concetti di chiusura e interno nel contesto dei complementi di insiemi.
E così via.
