Spazio Hausdorff
Uno spazio di Hausdorff è uno spazio topologico in cui per ogni coppia di punti distinti esistono intorni aperti disgiunti che li separano.
In altre parole, se prendo due punti qualsiasi \( x \) e \( y \) in uno spazio di Hausdorff, posso trovare un intorno aperto \( U \) contenente \( x \) e un intorno aperto \( V \) contenente \( y \) tali che gli intorni \( U \) e \( V \) non hanno punti in comune, ovvero, \( U \cap V = \emptyset \).
Questa proprietà assicura che lo spazio abbia una forma di "separabilità", dando una nozione di distanza e vicinanza tra i punti che è simile a quella intuitiva nella geometria euclidea.
Gli spazi di Hausdorff sono molto apprezzati nell'analisi e nella geometria, poiché facilitano il trattamento della convergenza delle sequenze di punti
Una proprietà importante è che in uno spazio Hausdorff i sottoinsiemi costituiti da un solo punto sono insiemi chiusi.
Questo significa che il complementare di un punto singolo, cioè l'insieme di tutti gli altri punti tranne quello, è sempre un insieme aperto.
Esempio pratico
Esempio 1
Considero l'insieme dei numeri reali R e la topologia standard, quella che è comunemente usata per rappresentare la retta reale \(\mathbb{R}\).
La topologia standard su R considera come insieme aperto ogni possibile unione di intervalli aperti (a,b) con a<b e ogni intersezione di un numero finito di insiemi aperti.
Quindi, in questa topologia i singoli punti {x} non sono insiemi aperti.
Spiegazione. Un insieme aperto in questa topologia è definito come un insieme che, per ogni punto al suo interno, contiene un intero intervallo aperto intorno a quel punto, perché tra due numeri reali qualsiasi esitono infiniti altri numeri reali. I singoli punti \( \{x\} \) non soddisfano questa condizione perché non c'è spazio intorno a un singolo punto che possa essere contenuto all'interno dell'insieme senza includere altri punti. Quindi, nella topologia standard sulla retta reale i singoli punti non sono aperti.
Il complementare di ogni singolo punto \( \mathbb{R} \setminus \{x\} \) è, invece, un insieme aperto.
Da questo deduco che ogni singolo punto \( \{x\} \) è un insieme chiuso perché il suo complementare è un insieme aperto.
La topologia standard è anche uno spazio di Hausdorff perché dato un qualsiasi paio di punti distinti \( a \) e \( b \) su \(\mathbb{R}\), è sempre possibile trovare due intervalli aperti, uno intorno ad \( a \) e l'altro intorno a \( b \), che non si sovrappongono.
Ad esempio, se \( a < b \), possiamo prendere gli intervalli \( (a-\epsilon, a+\epsilon) \) e \( (b-\epsilon, b+\epsilon) \) per un \( \epsilon \) sufficientemente piccolo in modo che \( a+\epsilon < b-\epsilon \), garantendo che gli intervalli siano disgiunti.
Poiché la topologia standard sulla retta reale è anche uno spazio Hausdorff, il fatto che i singoli punti nella topologia standard sono insiemi chiusi è in linea con la definizione di spazio Hausdorff.
Esempio 2
Considero uno spazio topologico composto dall'insieme X = {1,2,3} nella topologia discreta
Nella topologia discreta ogni elemento (punto) di X è considerato aperto.
Di conseguenza, sono aperti tutti i possibili sottoinsiemi di \( X \).
- L'insieme vuoto \( \emptyset \)
- Gli insiemi singoletti \( \{1\} \), \( \{2\} \), \( \{3\} \)
- Gli insiemi con due elementi \( \{1, 2\} \), \( \{1, 3\} \), \( \{2, 3\} \) per unione/intersezione di insiemi aperti
- L'insieme stesso \( \{1, 2, 3\} \)
In totale, ci sono \( 2^3 = 8 \) insiemi aperti, corrispondenti a tutti i sottoinsiemi di \( X \).
Questo spazio topologico con la topologia discreta è sempre uno spazio di Hausdorff.
Questo perché, per definizione, uno spazio è di Hausdorff se per ogni coppia di punti distinti \( x \) e \( y \) esistono due intorni aperti \( U \) e \( V \) tali che \( U \cap V = \emptyset \) e \( x \in U \), \( y \in V \).
In questo spazio topologico se prendo due punti distinti \( x \) e \( y \) in \( X = \{1, 2, 3\} \), posso semplicemente scegliere gli intorni \( U = \{x\} \) e \( V = \{y\} \).
Chiaramente, questi due intorni sono disgiunti \( U \cap V = \emptyset \) soddisfacendo così la condizione per essere uno spazio di Hausdorff.
Ad esempio, se scelgo i punti x={1} e y={2} e come intorno U={1} e V={2}, l'intersezione tra {1} e {2} è l'insieme vuoto.
$$ \{ 1 \} \cap \{ 2 \} = \emptyset $$
Questo vuole dire che i due elementi hanno un intorno che non si sovrappone.
Lo stesso accade scegliendo qualsiasi altra coppia di elementi di X.
Nella topologia discreta i singoli punti sono insiemi aperti o chiusi? La prima volta che ho svolto questo esercizio mi è sorto un dubbio. Se la topologia discreta è uno spazio di Hausdorff, allora i singoli punti {x} dovrebbero essere chiusi, ma in questo caso sono aperti per definizione stessa della topologia discreta. Perché?
La risposta a questo dubbio è molto semplice anche se inizialmente potrebbe sembrare controintuitiva: in topologia un insieme può essere sia aperto che chiuso, tali insiemi sono spesso chiamati insiemi clopen. In altre parole, in topologia "chiuso" non è l'opposto di "aperto".
Nella topologia discreta ogni singolo punto {x} è anche un insieme chiuso perché il suo complementare, che è l'insieme di tutti gli altri punti diversi da x è un'unione di insiemi aperti ed è quindi un insieme aperto.
Pertanto, se il complementare del singolo punto {x} è un insieme aperto, deduco che il singolo punto {x} è anche un insieme chiuso.
Ad esempio, considerando l'insieme X={1,2,3}, se prendo l'elemento {1} questo è un insieme aperto per definizione stessa della topologia discreta. Tuttavia è anche un insieme chiuso perché il suo complementare X/{1}={2,3} è un insieme aperto. Il complementare di un insieme aperto è sempre un insieme chiuso.
Riepilogando, i singoli punti {x} della topologia discreta sono sia aperti che chiusi.- Aperti
Nella topologia discreta ogni singolo punto è un insieme aperto per definizione stessa della topologia. - Chiusi
Il complementare X/{x} di un singolo punto {x} è l'insieme di tutti gli altri punti/elementi di X che non sono nel sottoinsieme {x}. Poiché nella topologia discreta tutti i singoli punti sono aperti, ne deduco che anche la loro unione è un insieme aperto. Quindi, l'insieme complementare X/{x} è un insieme aperto. Poiché il complementare di {x} è un insieme aperto, deduco che l'insieme {x} è un insieme chiuso.
In sintesi, i singoli punti {x} sono aperti perché ogni sottoinsieme è aperto nella topologia discreta, e sono chiusi perché i loro complementari sono aperti.
Un'importante differenza tra la topologia discreta e quella standard è che nella topologia standard, non tutti i sottoinsiemi sono aperti. Solo quelli che rispettano la definizione di "intorno aperto" per ogni punto contenuto nell'insieme sono considerati aperti.
Osservazioni
Alcune osservazioni e note a margine sugli spazi di Hausdorff
- In uno spazio di Hausdorff ogni successione convergente di punti converge a un unico punto
In uno spazio di Hausdorff X ogni successione convergente di punti converge a un unico punto x∈X, perché se convergesse a due o più punti distinti, questi avrebbero due intorni non più disgiunti tra loro.Dimostrazione. Considero uno spazio di Hausdorff X (ad esempio uno spazio reale X=R). Per assurdo ipotizzo che una successione convergente di punti x1,x2,x3,..., converge a due punti distinti x e y dello spazio X. Secondo la definizione di convergenza di una successione di punti, questo significa che esiste un numero intero N tale che per ogni n>N i punti xn appartengono all'intorno A di x.
D'altra parte esiste anche un numero intero M tale che per ogni n>M i punti xn appartengono all'intorno B di y.
Se M>N una parte dei punti dell'intorno A di x appartiene anche all'intorno B di y. Lo stesso accadrebbe se N>M, in questo caso una parte dei punti dell'intorno B di y apparterrebbe anche all'intorno A di x. In entrambi i casi, l'intersezione tra i due intorni dei punti x e y non sarebbe vuota $$ A \cap B \not = \emptyset $$ I due intorni A e B non sono disgiunti. Questo contraddice una proprietà fondamentale degli spazi di Hausdorff, quella per cui in ogni coppia x e y di punti distinti dello spazio X esistono intorni aperti disgiunti ($ A \cap B = \emptyset $). Pertanto, in uno spazio di Hausdorff una successione convergente di punti non può convergere a due o più punti distinti. Questa ipotesi è falsa. Di conseguenza, in uno spazio di Hausdorff una successione convergente può convergere soltanto a un unico punto x dello spazio X.
E così via.