La topologia del complemento finito
La topologia del complemento finito è un tipo di struttura topologica su un insieme X in cui un insieme è considerato "aperto" se il suo complemento è un insieme finito.
In questa topologia ogni insieme è aperto se il suo complemento è finito.
Di conseguenza, deduco che in questa topologia ogni insieme finito è considerato "chiuso" perché, per la definizione stessa di insieme chiuso, un insieme è chiuso se il suo complemento è aperto.
Per il resto, l'insieme vuoto e l'intero insieme sono "clopen", sia aperti che chiusi, come in ogni topologia.
Cos'è una struttura topologica? Nel linguaggio della topologia, una "struttura topologica" (o semplicemente una "topologia") su un insieme è una collezione di sottoinsiemi di quell'insieme che soddisfa determinate proprietà che consentono di definire concetti come continuità, limiti, e vicinanza in modo generalizzato.
Va ribadito che la topologia del complemento finito non è una proprietà intrinseca degli insiemi stessi, ma piuttosto a un modo di definire quali insiemi sono aperti secondo una regola specifica che riguarda i loro complementi.
Spesso è una topologia sull'insieme dei numeri reali (R), ovvero sulla retta reale, ma può essere applicata anche su qualsiasi altro insieme X arbitrario con le stesse regole.
Ad esempio, secondo questa topologia sono insiemi "aperti" tutti quelli che escludono un numero finito di numeri (punti) dall'insieme dei numeri reali (retta).
A cosa serve? La topologia del complemento finito è utile in alcuni contesti matematici per esemplificare come possono esistere diverse topologie in un dato insieme, ciascuna delle quali conferisce proprietà diverse allo spazio topologico risultante.
Un esempio pratico
Considero un l'insieme V composto da tutti i numeri reali tranne i numeri 1, 2, 4 e 8
$$ V = \mathbb{R} - \{1, 2, 4, 8\} $$
Il complemento di \( V \) è l'insieme \( \{1, 2, 4, 8\} \) che è un insieme finito perché contiene solo quattro elementi.
$$ C_V = \{ 1,2,3,4 \} $$
Quindi, per definizione della topologia del complemento finito, l'insieme V è un insieme aperto.
Nota. Secondo la topologia del complemento finito un insieme è aperto se il suo complemento è un insieme finito.
Esempio 2
In questa topologia, posso prendere qualsiasi combinazione di numeri reali (finita), rimuoverli dalla retta reale, e l'insieme risultante sarà sempre aperto. Quindi, insiemi come \( \mathbb{R} - \{0\} \), \( \mathbb{R} - \{-5, \sqrt{2}\} \), o \( \mathbb{R} - \{\pi, e, -1\} \) sono tutti esempi di insiemi aperti nella topologia del complemento finito su \( \mathbb{R} \).
E così via.