Inclusione degli interni di insiemi in topologia

Se un insieme $ A $ è contenuto in un insieme $ B $, allora l'interno di $ A $ è necessariamente contenuto nell'interno di $ B $. $$ A \subseteq B \Rightarrow \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$

Questo risultato deriva dal fatto che ogni insieme aperto contenuto in $ A $ è anche contenuto in $ B $.

Di conseguenza, l'operazione di formare l'interno preserva l'inclusione tra insiemi.

Un esempio pratico
La dimostrazione

Un esempio pratico

Considero due insiemi $ A $ e $ B $ in $ \mathbb{R} $ con la topologia standard.

$$ A = [1, 3] $$

$$ B = [0, 4] $$

Chiaramente, l'insieme A è un sottoinsieme di B.

$$ A \subseteq B $$

L'interno di un insieme in $ \mathbb{R} $ con la topologia standard è l'unione di tutti i suoi sottoinsiemi aperti.

Interno di A
L'insieme $ A = [1, 3] $ contiene come insieme aperto il segmento $ (1, 3) $. Quindi: \[
\text{Int}(A) = (1, 3)
\]
Interno di B
L'insieme $ B = [0, 4] $ contiene come insieme aperto il segmento $ (0, 4) $. Quindi: \[
\text{Int}(B) = (0, 4)
\]

E' evidente che anche l'interno $ \text{Int}(A) = (1, 3) $ è un sottoinsieme dell'interno $ \text{Int}(B) = (0, 4) $.

$$ \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$

In questo modo, ho verificato con un esempio concreto che $ A \subseteq B $ implica $ \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $ in $ \mathbb{R} $ con la topologia standard.

La dimostrazione

Considero due insiemi $ A $ e $ B $ in uno spazio topologico $ X $ tali che $ A \subseteq B $.

Devo dimostrare che $ \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $, dove $ \text{Int}(A) $ denota l'interno di $ A $.

L'interno di un insieme $ A $, indicato con il simbolo $ \text{Int}(A) $, è definito come l'unione di tutti gli insiemi aperti contenuti in $ A $.

In altre parole, $ \text{Int}(A) $ è il più grande insieme aperto contenuto in $ A $.

Per la definizione di interno, ogni insieme aperto contenuto in $ A $ è anche un sottoinsieme di $ B $, dato che $ A \subseteq B $.

Quindi, ogni insieme aperto contenuto in $ A $ è anche contenuto in $ B $.

Poiché $ \text{Int}(A) $ è l'unione di tutti gli insiemi aperti contenuti in $ A $ e tutti questi insiemi aperti sono anche contenuti in $ B $, deduco che anche $ \text{Int}(A) $ è un insieme aperto contenuto in $ B $.

Inoltre, l'interno di $ B $ $ \text{Int}(B) $ è per definizione il più grande insieme aperto contenuto in $ B $.

Poiché $ \text{Int}(A) $ è un insieme aperto contenuto in $ B $, segue che $ \text{Int}(A) $ deve essere contenuto in $ \text{Int}(B) $.

In conclusione, se $ A \subseteq B $, allora $ \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $.

Questo dimostra che l'operazione di prendere l'interno preserva l'inclusione tra insiemi.

E così via.