Spazio regolare in topologia
Uno spazio topologico \( X \) è uno spazio regolare se soddisfa le seguenti condizioni:
- Gli insiemi costituiti da un solo punto sono chiusi, ovvero i punti sono chiusi in \( X \).
- Separazione tra punti e insiemi chiusi: per ogni punto \( a \in X \) e ogni insieme chiuso \( C \subset X \) che non contiene \( a \), esistono due insiemi aperti disgiunti \( U \) e \( V \) tali che: \[ a \in U, \quad C \subset V, \quad U \cap V = \emptyset \]
In topologia lo spazio regolare è uno spazio topologico che soddisfa una proprietà di separazione più forte della proprietà di Hausdorff.
Se uno spazio è regolare e ha una base numerabile, allora è uno spazio metrizzabile per il teorema di Urysohn.
Qual è la differenza rispetto agli spazi di Hausdorff?
La proprietà degli spazi regolari implica che si possono separare un punto e un insieme chiuso disgiunto tramite insiemi aperti distinti, rafforzando così la nozione di separabilità rispetto agli spazi di Hausdorff che, invece, separano solo coppie di punti distinti mediante insiemi aperti disgiunti.
Nota. Lo spazio regolare si distingue anche dallo spazio normale, perché lo spazio normale è una condizione ancora più forte che richiede che ogni coppia di insiemi chiusi disgiunti possa essere separata da insiemi aperti disgiunti. Questo significa che se uno spazio è normale, allora è automaticamente regolare.
Va comunque chiarito che la regolarità è un’altra proprietà di separazione e che uno spazio topologico può anche essere regolare senza essere Hausdorff o viceversa. In altre parole esistono spazi di Hausdorff che non sono regolari e spazi regolari che non sono di Hausdorff.
Un esempio pratico
Un esempio pratico di spazio regolare è la retta reale \( \mathbb{R} \) con la topologia standard.
Considero un punto \( x \in \mathbb{R} \) e un insieme chiuso \( C \) che non contiene \( x \).
Ad esempio, prendo il punto \( x=2 \) e lo spazio chiuso \( C \)
\[ C = (-\infty, 0] \cup [5, \infty) \]
Chiaramente, \( x = 2 \notin C \) e \( C \) è chiuso nella topologia standard.
A questo punto devo trovare degli insiemi aperti che separano \( x \) da \( C \)
Il complemento di \( C \) è un insieme aperto, quindi posso trovare un intervallo aperto contenente \( x \).
Ad esempio, l'insieme \( 0,5 \) contiene il punto \( x=2 \).
\[ (a, b) = (0, 5) \]
Ora scelgo due valori \( c \) e \( d \) tali che contengono il punto \( x = 2 \):
\[ 0 < c < 2 < d < 5 \]
Ad esempio, prendo \( c = 1 \) e \( d = 3 \).
Poi definisco due insiemi aperti:
- \( U = (c, d) = (1,3) \), che contiene il punto \( x = 2 \).
- \( V = (-\infty, c) \cup (d, \infty) = (-\infty, 1) \cup (3, \infty) \), che contiene tutto \( C \).
Questi due insiemi sono disgiunti, cioè \( U \cap V = \emptyset \), quindi soddisfano la condizione di regolarità.
In conclusione, ho separato il punto \( x = 2 \) dall'insieme chiuso \( C \) tramite due insiemi aperti disgiunti \( U \) e \( V \), dimostrando così che la retta reale con la topologia standard è uno spazio regolare.
E così via.
