Differenza tra topologia fine e grossolana

I termini "topologia più fine" e "topologia più grossolana" si riferiscono a un confronto tra diverse topologie applicate su uno stesso insieme $ X $.

Topologia più fine
Una topologia più fine su un insieme $ X $ è una topologia che ha più insiemi aperti rispetto a un'altra topologia sullo stesso insieme.
Topologia più grossolana
Una topologia più grossolana è l'opposto: ha meno insiemi aperti rispetto a un'altra topologia sullo stesso insieme $ X $. È una topologia più "semplice".

Un esempio pratico
La continuità nella topologia fine e grossolana

Un esempio pratico

Considero di avere l'insieme $ X = \{a, b\} $ e applico diverse topologie su $ X $:

La prima topologia $ \tau_1 $ è $ \{\varnothing, \{a, b\}\} $. Si tratta di una topologia banale, in cui solo l'insieme vuoto e tutto l'insieme sono aperti.
La seconda topologia $ \tau_2 $ è $ \{\varnothing, \{a\}, \{a, b\}\} $.

La topologia $ \tau_2 $ è più fine di $ \tau_1 $ perché ha più insiemi aperti, in quanto include anche $ \{a\} $ come insieme aperto che non era aperto in $ \tau_1 $.

La topologia $ \tau_1 = \{\varnothing, \{a, b\}\} $ (la topologia banale) è, invece, più grossolana di $ \tau_2 $, perché ha meno insiemi aperti.

La continuità nella topologia fine e grossolana

Se una funzione è continua rispetto a una topologia più grossolana, la funzione sarà continua anche rispetto a una topologia più fine (ma non vale necessariamente il contrario)

La continuità di una funzione si verifica controllando che per ogni insieme aperto nell'immagine della funzione, la sua controimmagine sia aperta nello spazio di partenza.

Quindi, se ho una topologia più fine con più insiemi aperti, devo fare più controlli perché ci sono più insiemi aperti da considerare.

Viceversa, più grossolana è la topologia, più facile è soddisfare la definizione di continuità, perché ci sono meno insiemi aperti da controllare.

Questo vuole dire che se una funzione è continua rispetto a una topologia più grossolana, la funzione sarà continua anche rispetto alla topologia più fine, perché se soddisfa le condizioni per gli insiemi aperti della topologia grossolana, allora li soddisferà anche sugli stessi insiemi della topologia fine.

Ma il contrario non è sempre vero. Se una funzione è continua rispetto alla topologia più fine, non è detto che sia continua anche rispetto alla topologia grossolana, perché ci sono meno insiemi aperti e potrebbe fallire la condizione di continuità in qualche controimmagine.

Esempio

Riprendo l'esempio dell'insieme $ X = \{a, b\} $ a cui applico due topologie diverse.

Topologia grossolana: $ \tau_1 = \{\varnothing, \{a, b\}\} $. Solo l'insieme vuoto e l'intero $ X $ sono aperti.
Topologia fine: $ \tau_2 = \{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}\} $. Dove anche i sottoinsiemi $ \{a\} $ e $ \{b\} $ sono aperti.

Devo studiare la continuità di una funzione $ f: $ da $ X $ a un insieme $ Y $, dove $ Y $ è un insieme qualsiasi.

$$ f: X \to Y $$

Definisco la funzione $ f $ come segue:

$$ f(a)=1 $$

$$ f(b)=1 $$

Questa funzione manda entrambi gli elementi a e b in 1, quindi è una funzione costante.

La funzione è continua rispetto a $ \tau_2 $ (la più fine), perché le controimmagini di $ \{a\} $ e $ \{a, b\} $ sono aperte in $ X $.

La controimmagine di $ f^{-1}(\{1\}) $, cioè di $ \{1\} \subseteq Y $, è $ \{a \} \cup \{ b \} = \{a, b\} $, perché sia $ a $ che $ b $ sono mandati in $ 1 $. L'insieme $ \{a, b\} $ è aperto in $ X $ con la topologia $ \tau_2 $, quindi questa condizione è soddisfatta.
La controimmagine dell'insieme vuoto $ \varnothing $ è ancora l'insieme vuoto $ f^{-1}(\varnothing) = \varnothing $, che per definizione è aperto in $ X $ per qualsiasi topologia.

Dunque, $ f $ è continua rispetto alla topologia più fine $ \tau_2 $.

Se $ f $ è continua rispetto a $ \tau_2 $, automaticamente sarà continua anche rispetto a $ \tau_1 $, perché la continuità rispetto a $ \tau_2 $ garantisce che la controimmagine di $ \{a, b\} $ è aperta in $ X $.

Questo accade perché la topologia grossolana $ \tau_1 $ ha solo due insiemi aperti da considerare: $ \varnothing $ e $ \{a, b\} $.

La controimmagine di $ f^{-1}(\{1\}) = \{a, b\} $ è aperta in $ \tau_1 $.
La controimmagine di $ f^{-1}(\varnothing) = \varnothing $ è anche aperta in $ \tau_1 $.

Quindi, $ f $ è continua anche rispetto alla topologia più grossolana $ \tau_1 $.

Esempio 2

Ad esempio, considero sempre l'insieme $ $ X = \{a, b\} $ con queste topologie $ \tau_1 $ e $ \tau_2 $.

Topologia grossolana: $ \tau_1 = \{\varnothing, \{a, b\}\} $.
Topologia fine: $ \tau_2 = \{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}\} $.

Definisco una nuova funzione $ g : X \to Y $:

$$ g(a) = 1 $$

$$ g(b) = 2 $$

Poi verifico la continuità di $ g $ rispetto alla topologia fine $ \tau_2 $.

La controimmagine di $ f^{-1}( \varnothing ) = \varnothing è l'insieme vuoto che è aperto in \( \tau_2 $.
La controimmagine di $ f^{-1}(\{1,2\}) = \{a,b\} $ è aperta in $ \tau_2 $.
La controimmagine di $ f^{-1}(\{1\}) = \{a\} $ è aperta in $ \tau_2 $.
La controimmagine di $ f^{-1}(\{2\}) = \{b\} $ è aperta in $ \tau_2 $.

Non ci sono altri insiemi aperti da verificare, quindi $ g $ è continua rispetto alla topologia fine $ \tau_2 $.

Ora verifico la continuità rispetto alla topologia grossolana $ \tau_1 $:

La controimmagine di $ f^{-1}( \varnothing ) = \varnothing è l'insieme vuoto che è aperto in \( \tau_1 $.
La controimmagine di $ f^{-1}(\{1,2\}) = \{a,b\} $ è aperta in $ \tau_1 $.
La controimmagine di $ f^{-1}(\{1\}) = \{a\} $, ma $ \{a\} $ non è un insieme aperto in $ \tau_1 $.

Questo significa che $ g $ non è continua rispetto alla topologia grossolana $ \tau_1 $.

In conclusione, la funzione $ g $ è continua rispetto alla topologia fine $ \tau_2 $, ma non è continua rispetto alla topologia più grossolana $ \tau_1 $.

E così via.