Inclusione degli insiemi aperti nell'interno di un insieme

Se $ U $ è un insieme aperto in uno spazio topologico $ X $ e $ U $ è contenuto in $ A $, allora $ U $ è incluso nell'interno di $ A $. $$ U \subseteq Int(A) $$

L'interno di $ A $, $\text{Int}(A)$, è il più grande insieme aperto contenuto in $ A $.

Quindi, ogni insieme aperto $ U $ che è dentro $ A $ sarà anche parte dell'interno $\text{Int}(A)$ dell'insieme A.

$$ \text{Int}(A) = \bigcup \{ O \subseteq A \mid O \text{ è aperto in } X \} $$

Tra questi insiemi aperti c'è anche l'insieme $ U $ poiché per l'ipotesi iniziale è un insieme aperto ed è contenuto in $ A $.

Un esempio pratico
La dimostrazione

Un esempio pratico

In questo esempio considero due insiemi $ U $ e $ A $ nello spazio topologico $ \mathbb{R} $ (i numeri reali) con la topologia standard, dove gli insiemi aperti sono gli intervalli aperti e le loro unioni arbitrarie.

$$ U = (1, 2) $$

$$ A = [0, 3] $$

L'insieme $ U = (1, 2) $ è aperto poiché si tratta di un intervallo aperto in $\mathbb{R}$, quindi è un insieme aperto nella topologia standard di $\mathbb{R}$.

Inoltre, l'insieme $ U $ è contenuto in $ A $ perché $ U = (1, 2) \subseteq A = [0, 3] $. In altre parole, ogni punto di $ U $ è anche un punto di $ A $, quindi $ U \subseteq A $.

L'interno di $ A = [0, 3] $, denotato come $\text{Int}(A)$, è il più grande insieme aperto contenuto in $ A $.

In questo caso, l'interno di $ A $ è $(0, 3)$, perché $(0, 3)$ è l'intervallo aperto più grande che è contenuto in $[0, 3]$.

$$ \text{Int}(A) = (0,3) $$

Dato che $ U = (1, 2) $ e $\text{Int}(A) = (0, 3)$, si può vedere chiaramente che $ U $ è un sottoinsieme dell'intero di A.

$$ U \subseteq \text{Int}(A) $$

In questo esempio, ho verificato che $ U $ è un insieme aperto in $\mathbb{R}$ e $ U \subseteq A $, quindi $ U \subseteq \text{Int}(A) $.

Questo conferma che se $ U $ è un insieme aperto in $ \mathbb{R} $ e $ U \subseteq A $, allora $ U \subseteq \text{Int}(A) $.

La dimostrazione

Sia $ X $ uno spazio topologico, $ U $ un insieme aperto in $ X $, e $ A \subseteq X $ tale che $ U \subseteq A $.

Per ipotesi:

$ U $ è un insieme aperto in $ X $.
$ U $ è contenuto in A, $ U \subseteq A $.

Secondo la definizione di interno, $ \text{Int}(A) $ è definito come il più grande insieme aperto contenuto in $ A $.

Poiché $ U $ è aperto in $ X $ e $ U \subseteq A $, allora $ U $ è anche uno degli insiemi aperti che contribuiscono a formare l'interno $ \text{Int}(A) $.

Per definizione, l'interno $ \text{Int}(A) $ è l'unione di tutti questi insiemi aperti contenuti in $ A $. Dato che $ U $ è uno di questi insiemi, segue che $ U \subseteq \text{Int}(A) $.

Quindi, se $ U $ è un insieme aperto in $ X $ e $ U \subseteq A $, allora $ U \subseteq \text{Int}(A) $.

E così via.