La chiusura di un insieme
La chiusura di un insieme \( A \) in uno spazio topologico \( X \) è l'intersezione di tutti gli insiemi chiusi che contengono \( A \). Per indicarlo si usa il simbolo $ Cl(A) $
La chiusura di un insieme A è il più piccolo insieme chiuso che contiene completamente A.
Non esiste un altro insieme chiuso che contenga A che sia più piccolo della chiusura di A.
Nota. Questa conclusione segue direttamente dalla definizione di chiusura di A, che è l'intersezione di tutti gli insiemi chiusi contenenti A. In altre parole, la chiusura rappresenta l'insieme più piccolo chiuso che racchiude A perché è costituito dalla parte comune a tutti gli insiemi chiusi che includono A.
Formalmente, la chiusura dell'insieme A posso scriverla in questo modo:
$$ \text{Cl}(A) = \bigcap \{ C \subseteq X : A \subseteq C \text{ e } C \text{ è chiuso in } X \} $$
Dove \( \text{Cl}(A) \) rappresenta la chiusura di \( A \), e il simbolo \( \bigcap \) indica l'intersezione di tutti gli insiemi chiusi \( C \) che contengono \( A \).
La chiusura di \( A \) include l'insieme \( A \) stesso insieme a tutti i suoi punti di accumulazione in \( X \).
Nota. È importante ricordare che la chiusura di un insieme \( A \) è influenzata dalla topologia dello spazio \( X \) in cui \( A \) è contenuto, piuttosto che dalle caratteristiche intrinseche di \( A \) stesso. Di conseguenza, la chiusura di \( A \) può variare a seconda della topologia specifica di \( X \).
Un esempio pratico
Considero l'insieme \( A = (0, 1) \) nell'insieme dei numeri reali \( \mathbb{R} \) con la topologia standard.
Si tratta dell'intervallo aperto che comprende tutti i numeri reali tra 0 e 1 esclusi gli estremi.
In questo caso l'interno di \( A \) è \( [0, 1] \).
$$ \text{Cl}(A) = [0,1] $$
Questo insieme include sia l'intervallo aperto originale \( (0,1) \) sia i suoi punti di accumulazione a entrambe le estremità, cioè i punti 0 e 1.
Nota. Nella topologia standard su \( \mathbb{R} \), gli insiemi chiusi sono definiti come quelli che contengono tutti i loro punti di accumulazione. Un punto di accumulazione (o punto limite) di un insieme è un punto tale che ogni suo intorno contiene almeno un punto dell'insieme diverso da sé stesso. Ad esempio, l'intersezione tra gli intervalli chiusi [0,2] e [-1,1] è l'intervallo chiuso [0,1]. $$ [0,2] \cap [-1,1]=[0,1] $$ Non esiste un intervallo chiuso più piccolo in grado di contenere (0,1).
Esempio 2
In questo esempio studio l'insieme \( A = [0, 1) \) in \( \mathbb{R} \) con la topologia standard.
L'insieme comprende tutti i numeri reali da 0 incluso fino a 1 escluso. Pertanto, è un intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra.
Anche in questo caso la chiusura dell'insieme è $ [0,1] $.
$$ \text{Cl}(A) = [0,1] $$
Questo accade perché l'estremo 0 è già incluso nell'insieme A mentre B è un punto di accumulazione esterno.
Quindi, la chiusura di A comprende l'estremo destro aperto dell'intervallo, rendendo [0,1] l'insieme chiuso più piccolo che contiene A.
Nota. Questo si allinea con la definizione di chiusura in topologia, che include tutti i punti di accumulazione di un insieme. Ad esempio, l'intersezione tra [0,2] e [-1,1] è [0,1]. $$ [0,2] \cap [-1,1]=[0,1] $$
Esempio 3
Ora provo ad analizzare lo stesso insieme \( A = [0,1) \) quando \( X \) è uno spazio nella topologia discreta.
Nella topologia discreta, ogni sottoinsieme di uno spazio topologico è considerato aperto e, contemporaneamente, chiuso.
- Insieme aperto
In uno spazio topologico con topologia discreta, ogni singolo sottoinsieme di \( X \) è considerato un insieme aperto. Poiché anche $ A \subset X $ è un sottoinsieme di X, deduco che l'insieme A è un insieme aperto. - Insieme chiuso
D'altra parte ogni sottoinsieme di $ X $ è anche considerato un insieme chiuso, perché il suo complemento è un insieme aperto. Ad esempio, il complemento $ X/A $ è un insieme aperto perché è un sottoinsieme di X, ossia $ X/A \subset X $. Quindi, l'insieme A è chiuso perché il suo complemento X/A è aperto.
Questo significa che ogni insieme è sia aperto che chiuso, un concetto noto come insieme clopen (ossia, insieme sia chiuso che aperto).
Quindi, la chiusura di un insieme \( A \) è semplicemente \( A \) stesso, perché non c'è bisogno di aggiungere alcun punto per "chiudere" l'insieme.
$$ \text{Cl}(A) = [0,1) $$
L'insieme chiuso più piccolo che contiene \( A \) è \( A \) stesso.
Nota. Questo risultato dimostra come la scelta della topologia può influenzare la chiusura degli insiemi. Come già detto, le proprietà di un insieme chiuso non sono intriseche all'insieme $ A $ bensì dipendono dalla struttura topologica \( X \) all'interno della quale è definito l'insieme \( A \).
Esempio 4
Consideriamo uno spazio topologico \( X \) composto dai punti \( \{a, b, c \} \), dotato di una topologia discreta.
Nella topologia discreta, tutti i sottoinsiemi di \( X \) sono aperti:
- \( \emptyset \) e \( \{a, b, c\} \) sono aperti per definizione.
- Ogni singolo punto \( \{a\} \), \( \{b\} \), \( \{c\} \) è un insieme aperto
- Ogni possibile combinazione degli insiemi aperti come \( \{a, b\} \), \( \{a, c\} \), \( \{b, c\} \) è un insieme aperto.
Inoltre, nella topologia discreta ogni sottoinsieme di \( X \) è considerato chiuso, dato che il complemento di ogni sottoinsieme in una topologia discreta è anch'esso un insieme aperto.
In altre parole, nella topologia discreta ogni insieme è sia aperto che chiuso.
Considero l'insieme \( A = \{b, c\} \) all'interno dello spazio topologico \( X \).
- L'insieme A è aperto perché è un sottoinsieme di X e nella topologia discreta ogni sottoinsieme è aperto.
- L'insieme A è anche chiuso, perché iò suo complemento $ X/A = \{ a \} $ è un insieme aperto.
La chiusura di \( A \), \( Cl(A) \), è definita come l'intersezione di tutti gli insiemi chiusi che includono \( A \).
Poiché ogni insieme è chiuso nella topologia discreta, l'insieme $ A $ non necessita di altri elementi per formare la sua chiusura.
Quindi la chiusura di \( A \) è \( A \) stesso:
\[ Cl(A) = \{b, c\} \]
In questa topologia, ogni insieme è sia aperto che chiuso, ovvero è clopen. Pertanto, non è necessario "chiuderlo" ulteriormente, in quanto è già chiuso.
Nota. Per una rapida verifica, prendo gli insiemi chiusi che contengono \( A \) sono $ \{b, c\} $ e $ \{a,b,c\} $. $$ Cl(A) = \{b,c\} \cap \{a,b,c\} = \{b, c\} $$ L'intersezione di questi insiemi aperti è \( \{b, c\} \), che è esattamente \( A \). In conclusione, vale \( Cl(A) = A \).
Il teorema della chiusura di un insieme
Dato un sottoinsieme $ S $ dello spazio topologico $ X $ e un elemento $ y \in X $, l'elemento $ y $ appartiene alla chiusura del sottoinsieme $ \text{Cl(S)} $ se e solo se ogni insieme aperto $ U $ tale che $ y \in U $ ha una intersezione non vuota con $ S $ $$ y \in \text{Cl}(S) \iff \forall \ U \text{ aperto con } y \in U, \ U \cap S \neq \emptyset $$
Detto in altre parole, l'elemento y∈X per trovarsi nella chiusura dell'insieme S, deve appartenere anche a un insieme aperto U che interseca S.
Questo teorema fornisce un criterio utile per determinare se un punto appartiene alla chiusura di un insieme S in uno spazio topologico X.
Dimostrazione
- Condizione necessaria: Se \(y\) è nella chiusura di \(S\), allora per definizione ogni insieme aperto contenente \(y\) deve intersecare \(A\). Questo è perché la chiusura di un insieme include tutti i suoi punti inclusi i punti limite, e un punto limite è tale per cui ogni intorno aperto che lo contiene deve intersecare l'insieme di origine.
- Condizione sufficiente: Se ogni insieme aperto che contiene \(y\) interseca \(S\), allora \(y\) soddisfa la definizione di punto limite di $ S $ oppure è un punto di $ S $. Quindi, in entrambi i casi, il punto $ y $ deve appartenere alla chiusura di \(S\). Questo avviene perché \(y\) può essere raggiunto arbitrariamente vicino da punti in \(S\), implicando che \(y\) è un punto limite di \(S\) o è direttamente in \(S\).
Nota. Questo teorema è molto citato nella topologia degli insiemi perché collega il concetto di insieme aperto con la proprietà di chiusura degli insiemi, essenziale per studiare la continuità, la convergenza delle sequenze e altre proprietà topologiche. Inoltre, è ampiamente utilizzato nella prova di vari altri teoremi.
Esempio
Prendo come esempio l'insieme\( A = (0, 2) \) nella topologia standard su \( \mathbb{R} \). In questo caso l'insieme A è un semplice intervallo aperto sui numeri reali.
Provo a usare il teorema della chiusura per determinare se un punto $ y $ appartiene a a \( \text{Cl}(A) \) ovvero alla chiusura dell'insieme A
Ad esempio, considero il punto \( y = 2 \) in \( \mathbb{R} \).
Per il teorema \( y \) appartiene a \( \text{Cl}(A) \) se e solo se ogni insieme aperto \( U \) che contiene \( y \) interseca \( A \).
- Esamino gli insiemi aperti che contengono \( y \): Ogni volta che prendo un insieme aperto \( U \) che contiene il punto \( y = 2 \), come \( (1.9, 2.1) \), \( (1.95, 2.05) \), \( (1.99, 2.01) \), ecc., osservo che questi intervalli includono sempre dei punti che appartengono anche all'intervallo \( A = (0, 2) \). Ad esempio, \( 1.95, 1.99 \) ecc. sono tutti numeri che sono maggiori di 0 e minori di 2.
- Conferma che ogni \( U \) interseca \( A \): Poiché ogni insieme aperto \( U \) intorno a \( y=2 \) interseca \( A \), in base al teorema posso concludere che \( y = 2 \) appartiene a \( \text{Cl}(A) \).
Il punto \( y = 2 \) è quindi nella chiusura di \( A \) perché ogni insieme aperto che lo contiene interseca \( A \), soddisfacendo la condizione del teorema.
$$ y \in \text{Cl}(A) $$
In effetti la chiusura dell'insieme $ A $ è l'intervallo chiuso $ \text{Cl}(A) = [0, 2] $ che include al suo interno anche il punto $ y = 2 $.
Proprietà delle chiusure negli spazi topologici
Alcune proprietà associate alla chiusura di un insieme all'interno di uno spazio topologico e relazioni, talvolta non immediatamente intuitive, tra le operazioni come l'interno e la chiusura.
- Interno del complemento e complemento della chiusura
L'interno del complemento di un insieme \( A \) è uguale al complemento della chiusura di \( A \). Questa relazione può essere espressa matematicamente come: $$ \operatorname{Int}(X - A) = X - \operatorname{Cl}(A) $$ - Chiusura del complemento e complemento dell'interno
La chiusura del complemento di un insieme \( A \) è uguale al complemento dell'interno di \( A \). Questa relazione si esprime con la formula: $$ \operatorname{Cl}(X - A) = X - \operatorname{Int}(A) $$
Osservazioni
Alcune osservazioni e note a margine
- Se C è un insieme chiuso in X e A ⊆ C, allora Cl(A) ⊆ C
Se \( C \) è un insieme chiuso nello spazio topologico \( X \) e l'insieme \( A \) è contenuto in \( C \), allora la chiusura di \( A \), denotata come \( \text{Cl}(A) \), è un sottoinsieme di \( C \). Questo accade perché la chiusura di \( A \) è il più piccolo insieme chiuso che contiene \( A \), e poiché \( C \) è già chiuso e contiene \( A \), deve necessariamente contenere anche \( \text{Cl}(A) \). Pertanto, \( \text{Cl}(A) \) non può estendersi al di fuori di \( C \). - Se A ⊆ B allora Cl(A) ⊆ Cl(B)
Se un insieme \( A \) è un sottoinsieme di un altro insieme \( B \), allora la chiusura di \( A \) (l'insieme composto da \( A \) e tutti i suoi punti di accumulazione) sarà sempre un sottoinsieme della chiusura di \( B \). Questo deriva dal fatto che i punti di accumulazione di \( A \) sono anche punti di accumulazione di \( B \), poiché \( B \) contiene \( A \). Pertanto, la chiusura, essendo l'intersezione di tutti gli insiemi chiusi che contengono l'insieme originale, deve seguire questa regola di inclusione. - L'insieme A è chiuso se e solo se A = Cl(A)
Proprietà della monotonia. Un insieme \( A \) in uno spazio topologico è definito come chiuso se coincide con la sua chiusura, cioè \( A = \text{Cl}(A) \). La chiusura di \( A \), \( \text{Cl}(A) \), include tutti i punti di \( A \) più i suoi punti di accumulazione. Pertanto, se \( A \) contiene tutti i suoi punti di accumulazione, allora è chiuso. - La chiusura di un insieme è uguale all'unione dell'insieme e dei suoi punti di accumulazione
Dato un insieme A e l'insieme dei suoi punti di accumulazione A', la chiusura dell'insieme A è uguale all'unione degli insiemi A e A'. $$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$ - Idempotenza
Una volta chiuso un insieme, la chiusura ulteriore non aggiunge nuovi punti. $$ \text{Cl}(\text{Cl}(A)) = \text{Cl}(A) $$ - Invarianza rispetto all'insieme
L'insieme originale è sempre contenuto nella sua chiusura. $$ A \subseteq \text{Cl}(A) $$
E così via.
