La chiusura di un insieme

La chiusura di un insieme $A$ in uno spazio topologico $X$ è l'intersezione di tutti gli insiemi chiusi che contengono $A$. Per indicarlo si usa il simbolo $Cl(A)$

La chiusura di un insieme A è il più piccolo insieme chiuso che contiene completamente A.

Non esiste un altro insieme chiuso che contenga A che sia più piccolo della chiusura di A.

Nota. Questa conclusione segue direttamente dalla definizione di chiusura di A, che è l'intersezione di tutti gli insiemi chiusi contenenti A. In altre parole, la chiusura rappresenta l'insieme più piccolo chiuso che racchiude A perché è costituito dalla parte comune a tutti gli insiemi chiusi che includono A. 

Formalmente, la chiusura dell'insieme A posso scriverla in questo modo:

$$\text{Cl}(A) = \bigcap \{ C \subseteq X : A \subseteq C \text{ e } C \text{ è chiuso in } X \}$$

Dove $\text{Cl}(A)$ rappresenta la chiusura di $A$, e il simbolo $\bigcap$ indica l'intersezione di tutti gli insiemi chiusi $C$ che contengono $A$.

La chiusura di $A$ include l'insieme $A$ stesso insieme a tutti i suoi punti di accumulazione in $X$.

Nota. È importante ricordare che la chiusura di un insieme $A$ è influenzata dalla topologia dello spazio $X$ in cui $A$ è contenuto, piuttosto che dalle caratteristiche intrinseche di $A$ stesso. Di conseguenza, la chiusura di $A$ può variare a seconda della topologia specifica di $X$.

Un esempio pratico

Considero l'insieme $A = (0, 1)$ nell'insieme dei numeri reali $\mathbb{R}$ con la topologia standard. 

Si tratta dell'intervallo aperto che comprende tutti i numeri reali tra 0 e 1 esclusi gli estremi.

In questo caso l'interno di $A$ è $[0, 1]$.

$$\text{Cl}(A) = [0,1]$$

Questo insieme include sia l'intervallo aperto originale $(0,1)$ sia i suoi punti di accumulazione a entrambe le estremità, cioè i punti 0 e 1.

Nota. Nella topologia standard su $\mathbb{R}$, gli insiemi chiusi sono definiti come quelli che contengono tutti i loro punti di accumulazione. Un punto di accumulazione (o punto limite) di un insieme è un punto tale che ogni suo intorno contiene almeno un punto dell'insieme diverso da sé stesso. Ad esempio, l'intersezione tra gli intervalli chiusi [0,2] e [-1,1] è l'intervallo chiuso [0,1]. $$[0,2] \cap [-1,1]=[0,1]$$ Non esiste un intervallo chiuso più piccolo in grado di contenere (0,1).

Esempio 2

In questo esempio studio l'insieme $A = [0, 1)$ in $\mathbb{R}$ con la topologia standard.

L'insieme comprende tutti i numeri reali da 0 incluso fino a 1 escluso. Pertanto, è un intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra.

Anche in questo caso la chiusura dell'insieme è $[0,1]$.

$$\text{Cl}(A) = [0,1]$$

Questo accade perché l'estremo 0 è già incluso nell'insieme A mentre B è un punto di accumulazione esterno.

Quindi, la chiusura di A comprende l'estremo destro aperto dell'intervallo, rendendo [0,1] l'insieme chiuso più piccolo che contiene A.

Nota.  Questo si allinea con la definizione di chiusura in topologia, che include tutti i punti di accumulazione di un insieme. Ad esempio, l'intersezione tra [0,2] e [-1,1] è [0,1]. $$[0,2] \cap [-1,1]=[0,1]$$

Esempio 3

Ora provo ad analizzare lo stesso insieme $A = [0,1)$ quando $X$ è uno spazio nella topologia discreta.

Nella topologia discreta, ogni sottoinsieme di uno spazio topologico è considerato aperto e, contemporaneamente, chiuso.

• Insieme aperto
  In uno spazio topologico con topologia discreta, ogni singolo sottoinsieme di $X$ è considerato un insieme aperto. Poiché anche $A \subset X$ è un sottoinsieme di X, deduco che l'insieme A è un insieme aperto.
• Insieme chiuso
  D'altra parte ogni sottoinsieme di $X$ è anche considerato un insieme chiuso, perché il suo complemento è un insieme aperto. Ad esempio, il complemento $X/A$ è un insieme aperto perché è un sottoinsieme di X, ossia $X/A \subset X$. Quindi, l'insieme A è chiuso perché il suo complemento X/A è aperto.

Questo significa che ogni insieme è sia aperto che chiuso, un concetto noto come insieme clopen (ossia, insieme sia chiuso che aperto).

Quindi, la chiusura di un insieme $A$ è semplicemente $A$ stesso, perché non c'è bisogno di aggiungere alcun punto per "chiudere" l'insieme.

$$\text{Cl}(A) = [0,1)$$

L'insieme chiuso più piccolo che contiene $A$ è $A$ stesso.

Nota. Questo risultato dimostra come la scelta della topologia può influenzare la chiusura degli insiemi. Come già detto, le proprietà di un insieme chiuso non sono intriseche all'insieme $A$ bensì dipendono dalla struttura topologica $X$ all'interno della quale è definito l'insieme $A$.

Esempio 4

Consideriamo uno spazio topologico $X$ composto dai punti $\{a, b, c \}$, dotato di una topologia discreta.

Nella topologia discreta, tutti i sottoinsiemi di $X$ sono aperti:

• $\emptyset$ e $\{a, b, c\}$ sono aperti per definizione.
• Ogni singolo punto $\{a\}$, $\{b\}$, $\{c\}$ è un insieme aperto
• Ogni possibile combinazione degli insiemi aperti come $\{a, b\}$, $\{a, c\}$,  $\{b, c\}$ è un insieme aperto.

Inoltre, nella topologia discreta ogni sottoinsieme di $X$ è considerato chiuso, dato che il complemento di ogni sottoinsieme in una topologia discreta è anch'esso un insieme aperto.

In altre parole, nella topologia discreta ogni insieme è sia aperto che chiuso.

Considero l'insieme $A = \{b, c\}$ all'interno dello spazio topologico $X$.

• L'insieme A è aperto perché è un sottoinsieme di X e nella topologia discreta ogni sottoinsieme è aperto.
• L'insieme A è anche chiuso, perché iò suo complemento $X/A = \{ a \}$ è un insieme aperto.

La chiusura di $A$, $Cl(A)$, è definita come l'intersezione di tutti gli insiemi chiusi che includono $A$.

Poiché ogni insieme è chiuso nella topologia discreta, l'insieme $A$ non necessita di altri elementi per formare la sua chiusura.

Quindi la chiusura di $A$ è $A$ stesso:

$$Cl(A) = \{b, c\}$$

In questa topologia, ogni insieme è sia aperto che chiuso, ovvero è clopen. Pertanto, non è necessario "chiuderlo" ulteriormente, in quanto è già chiuso.

Nota. Per una rapida verifica, prendo gli insiemi chiusi che contengono $A$ sono $\{b, c\}$ e $\{a,b,c\}$. $$Cl(A) = \{b,c\} \cap \{a,b,c\} = \{b, c\}$$ L'intersezione di questi insiemi aperti è $\{b, c\}$, che è esattamente $A$. In conclusione, vale $Cl(A) = A$.

Il teorema della chiusura di un insieme

Dato un sottoinsieme $S$ dello spazio topologico $X$ e un elemento $y \in X$, l'elemento $y$  appartiene alla chiusura del sottoinsieme $\text{Cl(S)}$ se e solo se ogni insieme aperto $U$  tale che $y \in U$ ha una intersezione non vuota con $S$ $$y \in \text{Cl}(S) \iff \forall \ U \text{ aperto con } y \in U, \ U \cap S \neq \emptyset$$

Detto in altre parole, l'elemento y∈X per trovarsi nella chiusura dell'insieme S, deve appartenere anche a un insieme aperto U che interseca S.

Questo teorema fornisce un criterio utile per determinare se un punto appartiene alla chiusura di un insieme S in uno spazio topologico X.

Dimostrazione

• Condizione necessaria: Se $y$ è nella chiusura di $S$, allora per definizione ogni insieme aperto contenente $y$ deve intersecare $A$. Questo è perché la chiusura di un insieme include tutti i suoi punti inclusi i punti limite, e un punto limite è tale per cui ogni intorno aperto che lo contiene deve intersecare l'insieme di origine.
• Condizione sufficiente: Se ogni insieme aperto che contiene $y$ interseca $S$, allora $y$ soddisfa la definizione di punto limite di $S$ oppure è un punto di $S$. Quindi, in entrambi i casi, il punto $y$ deve appartenere alla chiusura di $S$. Questo avviene perché $y$ può essere raggiunto arbitrariamente vicino da punti in $S$, implicando che $y$ è un punto limite di $S$ o è direttamente in $S$.

Nota. Questo teorema è molto citato nella topologia degli insiemi perché collega il concetto di insieme aperto con la proprietà di chiusura degli insiemi, essenziale per studiare la continuità, la convergenza delle sequenze e altre proprietà topologiche. Inoltre, è ampiamente utilizzato nella prova di vari altri teoremi.

Esempio

Prendo come esempio l'insieme$A = (0, 2)$ nella topologia standard su $\mathbb{R}$. In questo caso l'insieme A è un semplice intervallo aperto sui numeri reali.

Provo a usare il teorema della chiusura per determinare se un punto $y$ appartiene a a $\text{Cl}(A)$ ovvero alla chiusura dell'insieme A

Ad esempio, considero il punto $y = 2$ in $\mathbb{R}$.

Per il teorema $y$ appartiene a $\text{Cl}(A)$ se e solo se ogni insieme aperto $U$ che contiene $y$ interseca $A$.

1. Esamino gli insiemi aperti che contengono $y$: Ogni volta che prendo un insieme aperto $U$ che contiene il punto $y = 2$, come $(1.9, 2.1)$, $(1.95, 2.05)$, $(1.99, 2.01)$, ecc., osservo che questi intervalli includono sempre dei punti che appartengono anche all'intervallo $A = (0, 2)$. Ad esempio, $1.95, 1.99$ ecc. sono tutti numeri che sono maggiori di 0 e minori di 2.
2. Conferma che ogni $U$ interseca $A$: Poiché ogni insieme aperto $U$ intorno a $y=2$ interseca $A$, in base al teorema posso concludere che $y = 2$ appartiene a $\text{Cl}(A)$.

Il punto $y = 2$ è quindi nella chiusura di $A$ perché ogni insieme aperto che lo contiene interseca $A$, soddisfacendo la condizione del teorema.

$$y \in \text{Cl}(A)$$

In effetti la chiusura dell'insieme $A$ è l'intervallo chiuso $\text{Cl}(A) = [0, 2]$ che include al suo interno anche il punto $y = 2$.

Proprietà delle chiusure negli spazi topologici

Alcune proprietà associate alla chiusura di un insieme all'interno di uno spazio topologico e relazioni, talvolta non immediatamente intuitive, tra le operazioni come l'interno e la chiusura.

• Interno del complemento e complemento della chiusura
  L'interno del complemento di un insieme $A$ è uguale al complemento della chiusura di $A$. Questa relazione può essere espressa matematicamente come: $$\operatorname{Int}(X - A) = X - \operatorname{Cl}(A)$$
• Chiusura del complemento e complemento dell'interno
  La chiusura del complemento di un insieme $A$ è uguale al complemento dell'interno di $A$. Questa relazione si esprime con la formula: $$\operatorname{Cl}(X - A) = X - \operatorname{Int}(A)$$

Osservazioni

Alcune osservazioni e note a margine

• Se C è un insieme chiuso in X e A ⊆ C, allora Cl(A) ⊆ C
  Se $C$ è un insieme chiuso nello spazio topologico $X$ e l'insieme $A$ è contenuto in $C$, allora la chiusura di $A$, denotata come $\text{Cl}(A)$, è un sottoinsieme di $C$. Questo accade perché la chiusura di $A$ è il più piccolo insieme chiuso che contiene $A$, e poiché $C$ è già chiuso e contiene $A$, deve necessariamente contenere anche $\text{Cl}(A)$. Pertanto, $\text{Cl}(A)$ non può estendersi al di fuori di $C$.
• Se A ⊆ B allora Cl(A) ⊆ Cl(B)
  Se un insieme $A$ è un sottoinsieme di un altro insieme $B$, allora la chiusura di $A$ (l'insieme composto da $A$ e tutti i suoi punti di accumulazione) sarà sempre un sottoinsieme della chiusura di $B$. Questo deriva dal fatto che i punti di accumulazione di $A$ sono anche punti di accumulazione di $B$, poiché $B$ contiene $A$. Pertanto, la chiusura, essendo l'intersezione di tutti gli insiemi chiusi che contengono l'insieme originale, deve seguire questa regola di inclusione.
• L'insieme A è chiuso se e solo se A = Cl(A)
  Proprietà della monotonia. Un insieme $A$ in uno spazio topologico è definito come chiuso se coincide con la sua chiusura, cioè $A = \text{Cl}(A)$. La chiusura di $A$, $\text{Cl}(A)$, include tutti i punti di $A$ più i suoi punti di accumulazione. Pertanto, se $A$ contiene tutti i suoi punti di accumulazione, allora è chiuso.
• La chiusura di un insieme è uguale all'unione dell'insieme e dei suoi punti di accumulazione
  Dato un insieme A e l'insieme dei suoi punti di accumulazione A', la chiusura dell'insieme A è uguale all'unione degli insiemi A e A'. $$\text{Cl}(A) = A \cup A'$$
• Idempotenza
  Una volta chiuso un insieme, la chiusura ulteriore non aggiunge nuovi punti. $$\text{Cl}(\text{Cl}(A)) = \text{Cl}(A)$$
• Invarianza rispetto all'insieme
  L'insieme originale è sempre contenuto nella sua chiusura. $$A \subseteq \text{Cl}(A)$$

E così via.