Punto di accumulazione in topologia
Un punto \(x\) in uno spazio topologico \(X\) è un punto di accumulazione (o punto limite) di un sottoinsieme \(A \subseteq X\) se ogni intorno di \(x\) interseca \(A\) in un punto diverso da \(x\).
Questo significa che in ogni intorno di \(x\) c'è almeno un punto di \(A\) che non è \(x\) stesso.
In altre parole, un punto x è un punto di accumulazione se l'intersezione tra ogni intorno U di x e il sottoinsieme A non è vuota.
$$ U \cap A \not = \emptyset $$
Dove un punto di accumulazione può essere un punto qualsiasi che non necessariamente deve appartenere all'insieme A.
In genere, il concetto di punto di accumulazione è intuitivo in uno spazio topologico reale \(\mathbb{R}\). Su una linea, un punto \(x\) è un punto di accumulazione di un sottoinsieme \(A\) se qualsiasi intorno di \(x\), ovvero un intervallo \((x-\epsilon, x+\epsilon)\), contiene punti di \(A\) diversi da \(x\) stesso.
La definizione topologica di punto di accumulazione estende questo concetto a uno spazio a n dimensioni \(\mathbb{R}^n\), dove un punto \(x\) è un punto di accumulazione di \(A\) se ogni intorno di \(x\) interseca \(A\) in un punto diverso da \(x\). Questa definizione generale non sempre è altrettanto intuitiva come nel caso di una dimensione.
Esempi pratici
Considero l'insieme \( A \) come un sottoinsieme di \(\mathbb{R}\) con la topologia standard.
$$ A = \left\{ \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N}^+ \right\} $$
Questo insieme contiene i punti \( \frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots \), ossia \(\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots \}\).
Per determinare se \(0\) è un punto di accumulazione di \(A\), considero qualsiasi intorno aperto \(U\) di \(0\).
Un tale intorno \(U\) conterrà un intervallo aperto \((a, b)\) con \(a < 0 < b\).
Dato che \(\frac{1}{n}\) tende a \(0\) quando \(n\) tende all'infinito, posso sempre trovare un punto \(\frac{1}{n}\) che appartiene all'intervallo \((a, b)\), per ogni \(n\) sufficientemente grande.
Pertanto, ogni intorno di \(0\) interseca \(A\) in almeno un punto diverso da \(0\).
Quindi, secondo la definizione, \(0\) è un punto di accumulazione dell'insieme \(A\).
Esempio 2
Considero l'insieme \( B \) come un sottoinsieme di \(\mathbb{R}\) nella topologia standard.
$$ B = \left\{ n + \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N}^+ \right\} $$
Questo insieme contiene i punti \( 1 + 1, 2 + \frac{1}{2}, 3 + \frac{1}{3}, \ldots \), ossia \(\{2, 2.5, 3.333\ldots, \ldots \}\).
Esamino il punto \(1\).
Ogni intorno aperto \(U\) di \(1\) conterrà un intervallo aperto \((a, b)\) con \(a < 1 < b\).
Tuttavia, tutti i punti di \(B\) sono maggiori di \(1\) e, per ogni punto \(n + \frac{1}{n} \in B\), l'intervallo \((a, b)\) conterrà un punto di \(B\) solo se \(a < n + \frac{1}{n} < b\).
Dato che non esistono punti di \(B\) inferiori a \(1\), non è possibile trovare punti di \(B\) negli intervalli aperti che contengono \(1\).
Quindi, \(1\) non è un punto di accumulazione dell'insieme \(B\).
Esempio 2
Considero l'insieme \((0, 1] \) come un sottoinsieme di \(\mathbb{R}\) con la topologia standard.
Devo determinare i punti di accumulazione di \((0, 1]\).
Secondo la definizione, un punto \(x\) è un punto di accumulazione di \((0, 1]\) se ogni intorno di \(x\) interseca \((0, 1]\) in un punto diverso da \(x\).
- Punti all'interno di (0,1]
Per ogni \(x \in (0, 1]\), qualsiasi intorno di \(x\) sarà un intervallo aperto \((a, b)\) con \(a < x < b\). Dato che \(x\) è un punto all'interno dell'intervallo \((0, 1]\), ogni intorno di \(x\) intersecherà \((0, 1)\) in un punto diverso da \(x\). Pertanto, ogni punto \(x \in (0, 1]\) è un punto di accumulazione di \((0, 1]\).
- Punti agli estremi di (0,1]
Esamino i punti \(0\) e \(1\).
- Punto \(0\): Qualsiasi intorno di \(0\) conterrà un intervallo aperto \((a, b)\) con \(a < 0 < b\). Anche se \(0\) non appartiene a \((0, 1]\), qualsiasi intervallo di questo tipo conterrà infiniti punti di \((0, 1]\). Ad esempio, ogni numero reale positivo molto piccolo sarà in \((0, 1]\)). Pertanto, \(0\) è un punto di accumulazione di \((0, 1]\).
- Punto \(1\): Qualsiasi intorno di \(1\) conterrà un intervallo aperto \((a, b)\) con \(a < 1 < b\). In questo caso \(1\) appartiene a \((0, 1]\) ed è un punto di accumulazione perché qualsiasi intervallo di questo tipo conterrà infiniti punti di \((0, 1]\). Ad esempio, ogni numero reale appena inferiore a \(1\) sarà in \((0, 1]\). Pertanto, \(1\) è un punto di accumulazione di \((0, 1]\).
- Punti fuori da [0, 1]
Per completezza considero un generico punto esterno all'interno e ai punti di accumulazione appena trovati, ossia \(x \notin [0, 1]\). Se \(x < 0\) o \(x > 1\), posso sempre trovare un intorno di \(x\) che è completamente disgiunto da \((0, 1]\).Ad esempio, se \(x < 0\), posso prendere un intervallo \((x - \epsilon, x + \epsilon)\) con \(\epsilon\) sufficientemente piccolo in modo che non intersechi \((0, 1]\). Analogamente, se \(x > 1\), posso trovare un intervallo attorno a \(x\) che non intersechi \((0, 1]\). Quindi, nessun punto fuori da \([0, 1]\) è un punto di accumulazione di \((0, 1]\).
In conclusione, i punti di accumulazione dell'insieme \((0, 1)\) nello spazio topologico \(\mathbb{R}\) con la topologia standard sono tutti i punti nell'intervallo chiuso \([0, 1]\).
Esempio 4
Devo determinare l'insieme dei punti limite di \( A = (0, 1] \) nella topologia del limite inferiore su \( \mathbb{R} \).
La topologia del limite inferiore su \( \mathbb{R} \) è generata dagli intervalli della forma \([a, b)\) con \( a < b \). Quindi, gli insiemi aperti in questa topologia sono le unioni arbitrarie degli intervalli [a,b).
Un punto \( x \) è un punto limite di un insieme \( A \) se ogni intorno di \( x \) contiene almeno un punto di \( A \) diverso da \( x \).
Analizzo i vari punti dello spazio:
- Punti x ∈ (0, 1)
Qualsiasi intorno \([x, x + \epsilon)\) con x in (0,1) contiene punti di A. Quindi, tutti i punti nell'intervallo (0,1) sono punti di accumulazione di A. - Punto x = 1
Qualsiasi intorno \([1 - \epsilon, 1)\) contiene punti di A. Quindi, il punto 1 è un altro punto di accumulazione di A. - Punto x = 0
Qualsiasi intorno \([0, 0 + \epsilon)\) con \(\epsilon > 0\) contiene punti di A, quindi anche il punto 0 è un punto limite di A. - Punti x < 0 o x > 1
Qui niente da dire, non ci sono intorni [x,x+ε) che intersecano A. Pertanto, non sono punti di accumulazione di A.
In conclusione, i punti di accumulazione di \( A = (0, 1] \) nella topologia del limite inferiore su \( \mathbb{R} \) sono tutti i punti in \([0, 1]\).
Quindi, l'insieme dei punti limite di \( A \) è \([0, 1]\).
Osservazioni
Alcune osservazioni e note a margine sui punti di accumulazione
- Teorema della chiusura di un insieme
La chiusura di un sottoinsieme \(A\) in uno spazio topologico \(X\) è l'unione di \(A\) con l'insieme \(A' \) dei suoi punti di accumulazione $$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$ In altre parole, la chiusura \(\text{Cl}(A)\) contiene tutti i punti dell'insieme \(A\) e tutti i punti di accumulazione di \(A\). - Una sequenza di punti converge verso il punto di accumulazione
Se $ A $ è un sottoinsieme dello spazio topologico $ X = \mathbb{R} $ nella topologia standard e il punto $ x $ è un punto accumulazione di $ A $, allora esiste una successione di punti $ x_i \in X $ che converge a $ x $ Nota. il punto limite potrebbe anche non appartenere al sottoinsieme A. - Unicità del punto limite
Nella topologia standard se una sequenza di punti converge a un punto limite $ x $, allora questo è unico. Tuttavia, questo non è detto in generale perché dipende dalla topologia che viene adottata.
E così via.