Esempio di topologia
Devo determinare tutte le possibili topologie sull'insieme X
$$ X = \{ a,b \} $$
Per farlo devo considerare tutti i possibili insiemi di aperti che soddisfano la definizione di topologia degli insiemi aperti.
Definizione di topologia degli insiemi aperti. Una topologia su un insieme aperto X è una collezione T di sottoinsiemi di X, considerati "aperti", che include l'insieme vuoto ∅ e l'insieme X stesso, ed è chiusa rispetto all'unione e all'intersezione.
Per l'insieme X={a,b}, i possibili sottoinsiemi sono:
$$ P(X) = \{ ∅, \{ a \}, \{ b \}, X \} $$
Dove X stesso è l'insieme {a,b}.
Pertanto, in ogni topologia T sull'insieme X deve essere sempre presente l'insieme vuoto ∅ e l'insieme X stesso ovvero X={a,b}
A questo punto elenco tutte le possibili combinazioni di questi sottoinsiemi che soddisfano le regole di una topologia:
- La topologia banale (o minimale), che include solo l'insieme vuoto e l'insieme intero: $$ T_1=\{ ∅, \{a,b \} \} $$
- La topologia che include, oltre agli insiemi della topologia banale, il sottoinsieme {a}: $$ T_2=\{ ∅, \{ a \} , \{a,b \} \} $$
- La topologia che include, oltre agli insiemi della topologia banale, il sottoinsieme {b}: $$ T_3=\{ ∅, \{ b \} , \{a,b \} \} $$
- La topologia discreta (o massimale), che include tutti i possibili sottoinsiemi dell'insieme X: $$ T_3=\{ ∅, \{ a \} , \{ b \} , \{a,b \} \} $$
Queste sono tutte le possibili topologie sull'insieme X.
La topologia banale è quella meno restrittiva, mentre la topologia discreta è quella più restrittiva perché include ogni possibile sottoinsieme di X come aperto.
Complessivamente sono possibili quattro topologie sull'insieme X.
Esempio 2
Considero un insieme X composto da tre elementi
$$ X = \{ a,b,c \} $$
Devo verificare se questa collezione di sottoinsiemi è una topologia di X
$$ T=\{ ∅, \{ a \} , \{ b \} , \{b,c \} \{a,b,c \} \} $$
Per prima cosa verifico se nella collezione c'è l'insieme vuoto ∅ e l'insieme completo X={1,2,3}
Ci sono entrambi, quindi la prima verifica è passata.
A questo punto verifico se la collezione è chiusa rispetto all'unione degli insiemi.
La collezione T non è chiusa all'unione degli insiemi perché l'unione {a}∪{b} genera l'insieme {a,b} che non è presente in T.
$$ \{ a \} \cup \{ b \} = \{a , b\} \ ∉ T $$
Questo basta per affermare che la collezione T non è una topologia sull'insieme X.
E' del tutto inutile verificare se la collezione è chiusa all'intersezione degli insiemi.
E così via.