Lo spazio metrico

Cos'è uno spazio metrico?

Uno spazio metrico è una coppia \( (X, d) \), dove \( X \) è un insieme e \( d \) è una funzione (detta metrica) che associa a ogni coppia di punti \( x, y \in X \) un numero reale non negativo, denotato \( d(x, y) \), che rappresenta la distanza tra \( x \) e \( y \). Si indica con (X,d). $$ (X,d) $$

La metrica deve soddisfare le seguenti proprietà:

1. Non negatività: \( d(x, y) \geq 0 \) per ogni \( x, y \in X \), e \( d(x, y) = 0 \) se e solo se \( x = y \) (la distanza di un punto da se stesso è zero, e la distanza tra due punti distinti è strettamente positiva).
2. Simmetria: \( d(x, y) = d(y, x) \) per ogni \( x, y \in X \) (la distanza da \( x \) a \( y \) è la stessa che da \( y \) a \( x \)).
3. Disuguaglianza triangolare: \( d(x, y) + d(y, z) \geq d(x, z) \) per ogni \( x, y, z \in X \) (la distanza diretta tra due punti è sempre minore o uguale alla distanza passando per un terzo punto).

Uno spazio metrico fornisce quindi una struttura matematica che consente di misurare le distanze tra punti in un insieme, permettendo di analizzare concetti geometrici come la continuità, la convergenza e la compattezza in modo rigoroso.

In altre parole, uno spazio metrico è semplicemente un insieme X a cui è associata una funzione distanza d.

Lo spazio metrico può essere un semplice insieme o uno spazio vettoriale.

Un esempio pratico

Un esempio classico di spazio metrico è lo spazio euclideo su \( \mathbb{R}^n \), ossia l'insieme dei punti nel piano (per \( n = 2 \)) o nello spazio tridimensionale (per \( n = 3 \)).

Considero \( \mathbb{R}^2 \), il piano cartesiano.

La metrica euclidea \( d \) è definita per due punti \( p = (p_1, p_2) \) e \( q = (q_1, q_2) \) come:

$$  d(p, q) = \sqrt{(p_1 - q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2}$$

Questa formula misura la distanza euclidea ovvero la distanza in linea retta tra due punti \( p \) e \( q \) nel piano.

Verifico che questa definizione soddisfi le proprietà di una metrica:

1. Non negatività: La radice quadrata è sempre non negativa, e \( d(p, q) = 0 \) se e solo se \( p_1 = q_1 \) e \( p_2 = q_2 \), cioè \( p = q \).
2. Simmetria: Si ha \( d(p, q) = d(q, p) \) perché la differenza \( (p_1 - q_1)^2 \) è uguale a \( (q_1 - p_1)^2 \), quindi la distanza è la stessa indipendentemente dall'ordine dei punti.
3. Disuguaglianza triangolare: La distanza diretta tra due punti è sempre minore o uguale alla somma delle distanze passando per un terzo punto, il che può essere verificato facilmente con il teorema di Pitagora e altre proprietà della geometria euclidea.

In conclusione, lo spazio \( (\mathbb{R}^2, d) \), dove \( d \) è la metrica euclidea, è un esempio di spazio metrico.

La funzione distanza o metrica

Cos'è la funzione distanza?

La distanza ( o metrica ) è una funzione d(x₁,x₂) tale che

d(x₁,x₂) ≥ 0
d(x₁,x₂) = 0 se e solo se x₁= x₂
d(x₁,x₂) = d(x₂,x₁)
d(x₁,x₂) ≤ d(x₁,x₃)+d(x₃,x₂)

Per ogni x₁, x₂, x₃ dell'insieme X

Tipi di distanze

Non c'è una sola funzione distanza ma diverse.

La distanza euclidea

$$ d_2(x,y) := \sqrt{ \sum{(x_i-y_i)^2 } } $$

E' la funzione più diffusa perché è alla base della geometria euclidea.

La distanza di Manhattan

E' alla base della geometria del taxi. Si chiama così perché è impossibile muoversi in diagonale, come tra i palazzi di una città.

$$ d_1(x_1,x_2) := \sum{ |x_i-y_i| } $$

La distanza discreta

In questo caso le distanze sono tutte uguali a 1 salvo nel caso in cui i due punti x e y dello spazio coincidono.

$$ d(x,y) := \begin{cases} 0 \:\:\: se \: x=y \\ 1 \:\:\:se \: x \ne y \end{cases} $$

La distanza indotta dalla norma

La norma induce sempre una funzione distanza.

In questi casi, la distanza è detta distanza indotta.

$$ ||v|| := d(v,0_V) $$

La lunghezza del vettore è la distanza dall'origine.

Pertanto, se uno spazio vettoriale ha una norma, allora è anche uno spazio metrico.

Nota. Non vale però il contrario. Una distanza non è detto che sia sempre associata a una norma.

Le proprietà della distanza indotta

Una distanza è indotta se soddisfa le sequenti condizioni:

d(v₁+v₃ , v₂+v₃) = d(v₁,v₂)
d(k·v₁ , k·v₂ ) = |k|·d(v₁,v₂)

Dove v₁, v₂, v₃ sono vettori dello spazio vettoriale V mentre k è uno scalare k∈K.

Esempio

Con questa definizione si può dimostrare facilmente che la norma euclidea induce la distanza euclidea perché soddisfa le precedenti condizioni.

Prendo tre vettori v₁,v₂,v₃ dello spazio euclideo

$$ v_1 = (6,8) \\ v_2 = (3,4) \\ v_3=(3,0) $$

I vettori hanno le seguenti norme

$$ ||v_1||_2 = \sqrt{ 6^2+8^2 } = \sqrt{ 100 } = 10 $$ $$ ||v_2||_2 = \sqrt{ 3^2+4^2 } = \sqrt{ 25 } = 5 $$ $$ ||v_3||_2 = \sqrt{ 3^2+0^2 } = \sqrt{ 9 } = 3 $$

Quindi, hanno le seguenti distanze indotte

$$ ||v_1||_2 = d(v_1,0_v) = 10 $$ $$ ||v_2||_2 = d(v_2,0_v) = 5 $$ $$ ||v_3||_2 = d(v_3,0_v) = 3 $$

Secondo la definizione $$ ||v|| = d(v,0_v) $$ se le seguenti condizioni sono soddisfatte $$ 1] \:\: d(v_1+v_3, v_2+v_3) = d(v_1,v_2) $$ $$ 2] \:\: (kv_1,kv_2) = |k|d(v_1,v_2) $$

Verifico le due condizioni

Prima condizione

$$ d(v_1+v_3, v_2+v_3) = d(v_1,v_2) $$ $$ d(10+3, 5+3) = d(10,5) $$ $$ d(13, 8) = d(10,5) $$

La distanza del membro di sinistra vale

$$ d(13,8) = \sqrt{ \sum{(13-8)^2 } } = \sqrt{ \sum{(5)^2 } } = \sqrt{ 25 } = 5 $$

La distanza del membro di destra è uguale a

$$ d(10,5) = \sqrt{ \sum{(10-5)^2 } } = \sqrt{ \sum{(5)^2 } } = \sqrt{ 25 } = 5 $$

Pertanto

$$ d(13, 8) = d(10,5) = 5 $$

La prima condizione è soddisfatta.

Seconda condizione

$$ d(k·v_1+k·v_2) = |k|·d(v_1,v_2) $$ $$ d(k·10,k·5) = |k|·d(10,5) $$

Prendo come riferimento k=2

$$ d(2·10,2·5) = |2|·d(10,5) $$ $$ d(20,10) = |2|·d(10,5) $$

Dove

$$ d(20,10) = \sqrt{ \sum{(20-10)^2 } } = \sqrt{ \sum{(10)^2 } } = 10 $$

e

$$ |2|d(10,5) = |2| \sqrt{ \sum{(10-5)^2 } } = 2 \sqrt{ \sum{(5)^2 } } = 2·5 = 10 $$

Pertanto

$$ d(k·10,k·5) = |k|·d(10,5) = 10 \:\:\: con \:\: k=2 $$

Anche la seconda condizione è soddisfatta.

Ho così dimostrato che nello spazio euclideo la distanza è indotta dalla norma.

Note a margine

Alcune osservazioni e note a margine sugli spazi metrici

• Teorema della base nella topologia indotta da una metrica
  In uno spazio metrico \((X, d)\), l'insieme delle palle aperte $ \mathcal{B} $ costituisce una base per una topologia su \(X\). $$ \mathcal{B} = \{B_d(x, \varepsilon) \mid x \in X, \varepsilon > 0\} $$
• Teorema della continuità degli spazi metrici
  Una funzione \(f : X \to Y\) tra due spazi metrici \((X, d_X)\) e \((Y, d_Y)\) è continua se, per ogni punto \(x \in X\) e per ogni \(\varepsilon > 0\), esiste un \(\delta > 0\) tale che, se due punti \(x, x' \in X\) sono a una distanza minore di \(\delta\) $$ d_X(x, x') < \delta $$ allora le loro immagini \(f(x)\) e \(f(x')\) in \(Y\) saranno a una distanza minore di \(\varepsilon\) $$ d_Y(f(x), f(x')) < \varepsilon $$
• Gli spazi metrici sono spazi di Hausdorff
  Ogni spazio metrico è di Hausdorff. Se uno spazio topologico non è di Hausdorff, allora non può essere indotto da una metrica.

  Nota. Uno spazio topologico è detto di Hausdorff se per ogni coppia di punti distinti esistono due intorni aperti disgiunti che li separano.

E così via.