Topologia del punto particolare
La topologia del punto particolare su un insieme X con un punto particolare p è definita come l'insieme di tutti i sottoinsiemi di X che sono vuoti o contengono il punto p.
Questa topologia include quindi l'insieme vuoto, l'intero insieme X, e qualsiasi suo sottoinsieme che includa p.
E' anche conosciuta come "topologia del punto fisso" o "particular point topology" in inglese.
Nota. Essendo una topologia deve soddisfare tutte le proprietà necessarie di una topologia: la presenza dell'insieme vuoto e dell'insieme completo, la chiusura delle operazioni di unione e intersezione dei sottoinsiemi.
Esempio
Per costruire la topologia del punto particolare su X={a,b,c} con il punto particolare "a", devo includere l'insieme vuoto ∅, l'intero insieme X, e tutti i sottoinsiemi di X che contengono il punto "a".
- L'insieme vuoto: ∅
- L'intero insieme: X={a,b,c}
- Tutti i sottoinsiemi di X che contengono "a": {a}, {a,b}, {a,c}
Quindi, la topologia del punto particolare per "a" su X è data dall'insieme delle parti:
$$ T=\{ ∅, \{ a \}, \{ a,b \}, \{ a,c \}, \{a,b,c \} \} $$
Questa collezione di insiemi soddisfa le proprietà di una topologia, poiché include l'insieme vuoto e l'intero insieme ed è chiusa alle operazioni di unione e intersezione
- Dato che ogni insieme in T contiene il punto particolare "a", ad eccezione dell'insieme vuoto, l'unione di qualsiasi collezione di questi insiemi conterrà anche "a", e quindi sarà un insieme che è incluso in T.
- Considerando che tutti gli insiemi in T, eccetto ∅, contengono il punto "a", l'intersezione di qualsiasi numero finito di questi insiemi, escludendo l'intersezione con ∅, conterrà almeno "a".
E così via.