L'interno del complemento e il complemento della chiusura di un insieme
In topologia la proprietà di complementarità tra l'interno e la chiusura di un insieme afferma che l'interno del complemento di un insieme \( A \) è uguale al complemento della chiusura di \( A \). $$ \text{Int}(X - A) = X - \text{Cl}(A) $$
Un esempio pratico
Considero uno spazio topologico semplice: la retta reale \(\mathbb{R}\) con la topologia standard dove gli insiemi aperti sono gli intervalli aperti.
L'intervallo A=[0,1] è un intervallo chiuso
$$ A = [0, 1] $$
Il complemento di A nella retta reale è:
$$ \mathbb{R} - A = (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $$
L'interno di R-A, cioè Int(R-A), è l'insieme di tutti i punti interni di R-A.
Poiché (-∞, 0) ∪ (1, ∞) sono già aperti, l'interno del complemento R-A è:
$$ \text{Int}(\mathbb{R} - A) = (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $$
La chiusura di A, cioè Cl(A), è l'insieme A unito ai suoi punti di accumulazione.
Poiché A è già un intervallo chiuso, la chiusura di A è:
$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$
Il complemento della chiusura di \( A \) nella retta reale è:
$$ \mathbb{R} - \text{Cl}(A) = \mathbb{R} - [0, 1] = (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $$
A questo punto confronto i risultati:
- \(\text{Int}(\mathbb{R} - A) = (-\infty, 0) \cup (1, \infty)\)
- \(\mathbb{R} - \text{Cl}(A) = (-\infty, 0) \cup (1, \infty)\)
Il risultato è lo stesso. Da questo deduco che l'interno del complemento di un insieme \( A \) è uguale al complemento della chiusura di \( A \)
$$ \text{Int}(\mathbb{R} - A) = \mathbb{R} - \text{Cl}(A) $$
Questo conferma la proprietà di complementarità tra interno e chiusura.
L'esempio sopra mostra chiaramente come si applica la proprietà di complementarità tra interno e chiusura in un caso concreto.
Dimostrazione
Considero un insieme \( A \) in uno spazio topologico \( X \).
Devo dimostrare che \( \text{Int}(X - A) = X - \text{Cl}(A) \).
Per dimostrare che l'interno del complemento di un insieme è il complemento della chiusura di quell'insieme, utilizzo le proprietà fondamentali dell'interno e della chiusura di un insieme in uno spazio topologico,
Prendo come spunto iniziale le definizioni di interno e chiusura sono le seguenti:
- \(\text{Int}(B)\): l'interno di un insieme \( B \) è l'insieme di tutti i punti interni di \( B \).
- \(\text{Cl}(A)\): la chiusura di un insieme \( A \) è l'insieme \( A \) unito con i suoi punti di accumulazione (limite).
La dimostrazione prosegue in due parti:
1] Dimostro che \(\text{Int}(X - A) \subseteq X - \text{Cl}(A)\):
Prendo un elemento x dell'interno di X-A.
$$ x \in \text{Int}(X - A) $$
Per ogni punto x di X-A esiste un intorno U di x tale che \( U \subseteq X - A \).
Questo significa che \( U \cap A = \emptyset \).
Poiché \( U \cap A = \emptyset \), \( x \) non può essere un punto di accumulazione di \( A \).
Infatti, se \( x \) fosse un punto di accumulazione di \( A \), ogni intorno di \( x \) intersecherebbe \( A \), il che contraddice il fatto che \( U \cap A = \emptyset \).
Pertanto, \( x \notin \text{Cl}(A) \), il che implica che \( x \in X - \text{Cl}(A) \).
Quindi, \(\text{Int}(X - A) \subseteq X - \text{Cl}(A)\).
2] Dimostro che \(X - \text{Cl}(A) \subseteq \text{Int}(X - A)\)
Prendo un elemento qualsiasi di X-Cl(A)
$$ x \in X - \text{Cl}(A) $$
Di conseguenza deduco che x non faccia parte di Cl(A)
$$ x \notin \text{Cl}(A) $$
Il che significa che esiste un intorno \( U \) di \( x \) tale che \( U \cap A = \emptyset \).
Questo implica che \( U \subseteq X - A \), il che significa che \( x \in \text{Int}(X - A) \).
Pertanto, \(X - \text{Cl}(A) \subseteq \text{Int}(X - A)\).
3] Conclusione:
Poiché ho dimostrato entrambe le inclusioni:
$$ \text{Int}(X - A) \subseteq X - \text{Cl}(A) $$
$$ X - \text{Cl}(A) \subseteq \text{Int}(X - A) $$
Concludo che:
$$ \text{Int}(X - A) = X - \text{Cl}(A) $$
E questo conclude la dimostrazione.
E così via.
