Equivalenza tra un insieme aperto e il suo interno
Un insieme \( A \) in uno spazio topologico \( X \) è aperto se e solo se coincide con il suo interno. $$ A= \text{Int}(A) $$
In altre parole, \( A \) è aperto se ogni punto in \( A \) ha un intorno aperto completamente contenuto in \( A \).
Pertanto, \( A \) è aperto se e solo se \( A = \text{Int}(A) \), ovvero se contiene tutti gli insiemi aperti che può contenere all'interno di sé.
Dove l'interno di un insieme Int(A) è il più grande insieme aperto contenuto nell'insieme A, ovvero l'unione di tutti gli insiemi aperti contenuti in A.
Un esempio pratico
Considero lo spazio topologico \( \mathbb{R} \) con la topologia standard, quella in cui ogni intervallo aperto è un insieme aperto.
Esamino alcuni insiemi e verifico se sono aperti utilizzando la caratterizzazione \( A = \text{Int}(A) \).
Esempio 1
Considero l'intervallo aperto A=(0,1)
$$ A = (0, 1) $$
L'interno di \( A \) è l'insieme (0,1).
$$ \text{Int}(A)= (0,1) $$
Poiché l'insieme A coincide con il suo interno, posso dedurre che A è un insieme aperto.
Esempio 2
Considero l'intervallo chiuso B=[0,1]
$$ B = [0, 1] $$
L'interno dell'insieme è l'insieme compreso tra 0 e 1 esclusi.
$$ \text{Int}(B)= (0,1) $$
In questo caso l'insieme B=[0,1] non coincide con il suo interno Int(B)=(0,1), quindi deduco che l'insieme B non è un insieme aperto.
Nota. Questi esempi pratici mostrano come la definizione di interno di un insieme può essere applicata per verificare se l'insieme è aperto oppure no.
La dimostrazione
Devo dimostrare l'equivalenza tra un insieme aperto \( A \) e il suo interno \( \text{Int}(A) \)
Suddivido la dimostrazione in due parti:
1] Se A è aperto allora l'interno di Int(A)=A
Per ipotesi, l'insieme \( A \) è un insieme aperto.
Per definizione l'interno \(\text{Int}(A)\) è l'insieme di tutti i punti di \( A \) che hanno un intorno aperto contenuto in \( A \).
Poiché \( A \) è aperto, ogni punto \( x \in A \) ha un intorno aperto \( U \subseteq A \).
Pertanto, ogni punto di \( A \) è per definizione anche un punto di \(\text{Int}(A)\).
$$ A \subseteq \text{Int}(A) $$
D'altra parte, per definizione l'interno di A è l'unione di insiemi aperti contenuti in \( A \)
$$ \text{Int}(A) \subseteq A $$
Pertanto, questa doppia inclusione mi fa dedurre che i due insiemi siano uguali
$$ A = \text{Int}(A) $$
2] Se A=Int(A) allora l'insieme A è aperto
Supponiamo per ipotesi l'uguaglianza
$$ A = \text{Int}(A) $$
Devo dimostrare che \( A \) è aperto.
Prendo un punto qualsiasi \( x \in A \).
Poiché \( x \in \text{Int}(A) \) e \( \text{Int}(A) = A \), per definizione di interno, \( x \) deve avere un intorno aperto \( U \subseteq \text{Int}(A) = A \).
Questo implica che ogni punto di \( A \) ha un intorno aperto contenuto in \( A \).
Pertanto, \( A \) è un insieme aperto.
3] Conclusione
In questo modo ho dimostrato che un insieme \( A \) in uno spazio topologico \( X \) è aperto se e solo se \( A \) coincide con il suo interno, cioè \( A = \text{Int}(A) \).
E così via.
