Le tautologie

Cos'è una tautologia

Una tautologia è una proposizione composta sempre vera, indipendentemente dal valore di verità delle proposizioni da cui è composta. $$ \begin{array}{cr|c} A & ¬A & A \ ∨ \ (¬A) \\ \hline F & V & V \\ V & F & V \end{array} $$

La parola tautologia deriva dal greco "táutó" che significa "lo stesso".

In altre parole, data una forma proposizionale A, questa è sempre vera per ogni valore di verità di una valutazione $ x $. In questi casi si scrive

$$ \models A $$

Dove $ \models $ significa "soddisfa" o "modello di ", ossia A è vera indipendentemente dalla valutazione.

Una valutazione è un'assegnazione di valori di verità (vero o falso) alle variabili proposizionali di una formula logica, utilizzata per determinare se la formula risulta vera o falsa in quello specifico contesto.

Un esempio di tautologia

Ecco un esempio pratico di tautologia

$$ A \ \ ∨ \ \ (¬A) $$

La precedente proposizione è sempre vera.

Sia con A vera che con A falsa.

$$ \begin{array}{cr|c} A & ¬A & A \ ∨ \ (¬A) \\ \hline F & V & V \\ V & F & V \end{array} $$

Esempio 2

La proposizione "l'albero è vivo o è morto" posso scriverla ponendo la variabile logica A

$$ A \ = \ \text{l'albero è vivo} $$

La sua negazione logica è

$$ ¬A \ = \ \text{l'albero non è vivo} = \ \text{l'albero è morto} $$

Anche in questo caso la proposizione A o ¬A è sempre vera.

$$ \begin{array}{cr|c} A & ¬A & A \ ∨ \ (¬A) \\ \hline F & V & V \\ V & F & V \end{array} $$

Pertanto, è una tautologia logica.

Esempio 3

La frase "se piove o non piove" rappresenta una tautologia.

In logica, posso scrivere la frase come:

$$ (p \lor \neg p) $$

Dove \( p \) significa "Piove", \( \neg p \) significa "Non piove".

La condizione \( p \lor \neg p \) ("piove o non piove") è una tautologia, perché copre tutte le possibili situazioni: o piove, o non piove, senza alternative. È una verità logica, sempre valida. 

$$ \begin{array}{cr|c} p & \neg p & p \ ∨ \ (¬p) \\ \hline V & F & V  \\ F & V & V \end{array} $$

E così via.