Le tautologie
Cos'è una tautologia
Una tautologia è una proposizione composta sempre vera, indipendentemente dal valore di verità delle proposizioni da cui è composta. $$ \begin{array}{cr|c} A & ¬A & A \ ∨ \ (¬A) \\ \hline F & V & V \\ V & F & V \end{array} $$
La parola tautologia deriva dal greco "táutó" che significa "lo stesso".
In altre parole, data una forma proposizionale A, questa è sempre vera per ogni valore di verità di una valutazione $ x $. In questi casi si scrive
$$ \models A $$
Dove $ \models $ significa "soddisfa" o "modello di ", ossia A è vera indipendentemente dalla valutazione.
Una valutazione è un'assegnazione di valori di verità (vero o falso) alle variabili proposizionali di una formula logica, utilizzata per determinare se la formula risulta vera o falsa in quello specifico contesto.
Un esempio di tautologia
Ecco un esempio pratico di tautologia
$$ A \ \ ∨ \ \ (¬A) $$
La precedente proposizione è sempre vera.
Sia con A vera che con A falsa.
$$ \begin{array}{cr|c} A & ¬A & A \ ∨ \ (¬A) \\ \hline F & V & V \\ V & F & V \end{array} $$
Esempio 2
La proposizione "l'albero è vivo o è morto" posso scriverla ponendo la variabile logica A
$$ A \ = \ \text{l'albero è vivo} $$
La sua negazione logica è
$$ ¬A \ = \ \text{l'albero non è vivo} = \ \text{l'albero è morto} $$
Anche in questo caso la proposizione A o ¬A è sempre vera.
$$ \begin{array}{cr|c} A & ¬A & A \ ∨ \ (¬A) \\ \hline F & V & V \\ V & F & V \end{array} $$
Pertanto, è una tautologia logica.
Esempio 3
La frase "se piove o non piove" rappresenta una tautologia.
In logica, posso scrivere la frase come:
$$ (p \lor \neg p) $$
Dove \( p \) significa "Piove", \( \neg p \) significa "Non piove".
La condizione \( p \lor \neg p \) ("piove o non piove") è una tautologia, perché copre tutte le possibili situazioni: o piove, o non piove, senza alternative. È una verità logica, sempre valida.
$$ \begin{array}{cr|c} p & \neg p & p \ ∨ \ (¬p) \\ \hline V & F & V \\ F & V & V \end{array} $$
Le tautologie della logica classica
Le tautologie della logica classica sono infinite, ecco alcune tra le più importanti:
Perfetto, ottimo controllo! Ecco **le 20 leggi logiche**, numerate una per una, con titolo, breve descrizione e formula.
- Legge del terzo escluso
Una proposizione è vera oppure è falsa. Non esiste una terza possibilità. $$ A \vee \neg A $$ - Legge di non contraddizione
Una proposizione non può essere vera e falsa allo stesso tempo. $$ \neg (A \land \neg A) $$ - Legge della doppia negazione intuizionista
Se una proposizione è vera, allora non è falso che sia vera. Vale solo in questa direzione nella logica intuizionista. $$
A \vdash \neg \neg A $$ - Legge della doppia negazione classica
Se non è falso che una proposizione sia vera, allora la proposizione è vera. Vale nella logica classica. $$ \neg \neg A \vdash A $$ - Legge distributiva della ∧ su ∨
Fare una congiunzione tra A e una disgiunzione equivale a una disgiunzione tra due congiunzioni. $$ A \land (B \vee C) \leftrightarrow (A \land B) \vee (A \land C) $$ - Legge distributiva della ∨ su ∧
Fare una disgiunzione tra A e una congiunzione equivale a una congiunzione tra due disgiunzioni. $$ A \vee (B \land C) \leftrightarrow (A \vee B) \land (A \vee C) $$ - Prima legge di De Morgan
Negare una congiunzione equivale a fare una disgiunzione tra le due parti negate. $$ \neg (A \land B) \leftrightarrow (\neg A \vee \neg B) $$ - Seconda legge di De Morgan
Negare una disgiunzione equivale a fare una congiunzione tra le due parti negate. $$ \neg (A \vee B) \leftrightarrow (\neg A \land \neg B) $$ - Legge di concatenazione (transitività dell’implicazione)
Se A implica B e B implica C, allora A implica C. $$ (A \rightarrow B) \land (B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow C) $$ - Legge di negazione classica
Se non A implica B, questo equivale a dire A oppure B. $$ (\neg A \rightarrow B) \leftrightarrow A \vee B $$ - Legge di Scoto
Se A è vera, allora anche A oppure B è vera. $$ A \rightarrow (A \vee B) $$ - Legge di negazione minimale
Se se non A allora B è vera, allora A è vera. Questa legge vale in alcune logiche particolari, non sempre in quella classica. $$ (\neg A \rightarrow B) \rightarrow A $$ - Legge di affermazione del conseguente (contrapositiva)
Se A implica B, allora non B implica non A. $$ (A \rightarrow B) \rightarrow (\neg B \rightarrow \neg A) $$ - Legge di negazione dell’antecedente
Se A è falsa, allora A implica qualsiasi proposizione B. $$ \neg A \rightarrow (A \rightarrow B) $$ - Legge di contrapposizione
Dire se A allora B equivale a dire se non B allora non A. $$ (A \rightarrow B) \leftrightarrow (\neg B \rightarrow \neg A) $$ - Legge di Filone Megarico
Dire se A allora B equivale a dire o non A oppure B. $$ (A \rightarrow B) \leftrightarrow (\neg A \vee B) $$ - Legge di Crisippo
Dire se A allora B equivale a dire non A e B. Attenzione: questa formulazione non è corretta come tautologia in logica classica e potrebbe riferirsi a logiche particolari. $$ (A \rightarrow B) \leftrightarrow (\neg A \land B) $$ - Definizione della ∧ tramite condizionale e negazione
Fare una congiunzione equivale a negare che A implichi la negazione di B. $$ A \land B \leftrightarrow \neg (A \rightarrow \neg B) $$ - Definizione della ∨ tramite condizionale e negazione
Fare una disgiunzione equivale a dire che se non A, allora B. $$ A \vee B \leftrightarrow (\neg A \rightarrow B) $$ - Legge del sillogismo disgiuntivo
Se A è falsa ma A o B è vera, allora deve essere vera B. $$ \neg A \land (A \vee B) \rightarrow B $$
E così via.
