Il sistema omogeneo
Un sistema lineare è detto omogeneo quando tutti i termini noti sono uguali a zero.
$$
\begin{cases}
a_{11}x_1 + \dots + a_{1n}x_n = 0 \\
a_{21}x_1 + \dots + a_{2n}x_n = 0 \\
\vdots \\
a_{m1}x_1 + \dots + a_{mn}x_n = 0
\end{cases}
$$
I sistemi omogenei associati
Ogni sistema lineare è associabile a un sistema omogeneo ponendo a zero tutti i termini noti.
Esempio
$$
\begin{cases}
2x_1 - 5x_2 + x_3 = 7 \\
4x_1 + x_2 = 16
\end{cases}
\quad \text{sistema lineare}
$$
$$
\begin{cases}
2x_1 - 5x_2 + x_3 = 0 \\
4x_1 + x_2 = 0
\end{cases}
\quad \text{sistema omogeneo associato}
$$
La soluzione banale
Ogni sistema omogeneo è compatibile perché ammette sempre la soluzione nulla.
$$ (x_1, x_2, x_3) = (0, 0, 0) $$
Ponendo a zero le variabili, le equazioni del sistema sono soddisfatte.
Esempio
$$
\begin{cases}
2 \cdot (0) - 5 \cdot (0) + 0 = 0 \\
4 \cdot (0) - 0 = 0
\end{cases}
\quad \text{soluzione banale del sistema omogeneo}
$$
Le autosoluzioni
Sono dette autosoluzioni le soluzioni del sistema lineare omogeneo diverse dalla soluzione banale.
Esempio
$$ (x_1, x_2, x_3) = (2, 1, 3) $$
La rappresentazione matriciale del sistema lineare omogeneo
Un sistema lineare omogeneo
$$
\begin{cases}
a_{11}x_1 + \dots + a_{1n}x_n = 0 \\
a_{21}x_1 + \dots + a_{2n}x_n = 0 \\
\vdots \\
a_{m1}x_1 + \dots + a_{mn}x_n = 0
\end{cases}
$$
può essere rappresentato nel calcolo matriciale nella forma AX=B.
$$ A \cdot X = B $$
Dove A è la matrice mxn dei coefficienti, X è il vettore delle variabili incognite (x1,...,xn) e B è il vettore dei termini noti.
$$
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}
$$
In questo caso, trattandosi di un sistema lineare omogeneo, il vettore dei termini noti B è composto soltanto da n zeri { 0, ... , 0 }
