Equazioni pure
Cosa sono le equazioni pure
Un'equazione pura è un'equazione di 2° grado ax2+bx+c=0 in cui il coefficiente b=0 nullo e gli altri coefficienti a,c≠0 non nulli. $$ ax^2 + c = 0 $$
Per risolvere un'equazione pura di 2° posso anche evitare di usare la formula risolutiva generale, mi basta ricavare l'incognita x in funzione di tutto il resto.
$$ x^2 = \frac{-c}{a} $$
Essendo la x un quadrato per ricavare l'incognita devo applicare la radice quadrata in entrambi i membri dell'equazione.
$$ \sqrt{x^2} = \sqrt{ \frac{-c}{a} } $$
$$ x = \pm \sqrt{ \frac{-c}{a} } $$
A questo punto si verificano due casi
- Coefficienti a e c concordi
Se i coefficienti a e c sono concordi, ossia hanno lo stesso segno, allora l'equazione non ha soluzioni reali perché il radicando -c/a<0 è sicuramente un numero negativo e nessun numero reale elevato al quadrato è negativo. - Coefficienti a e c discordi
Se i coefficienti a e c sono discordi, ossia hanno segno diverso, allora l'equazione ha due soluzioni reali distinte, perché il radicando -c/a>0 è sicuramente un numero positivo.
Nota. Essendo un'equazione pura non considero il caso in cui a e/o c siano nulli, perché se lo fossero non sarebbe più un'equazione pura.
Un esempio pratico
Considero l'equazione pura di 2° grado
$$ 2x^2 - 8 = 0 $$
I coefficienti dell'equazione sono a=2 e c=-8
I coefficienti a,c non hanno lo stesso segno (discordi). Quindi l'equazione ha due soluzioni reali distinte.
Per trovare le soluzioni ricavo l'incognita x al primo membro dell'equazione e sposto tutto il resto al secondo membro
Per la proprietà invariantiva delle equazioni addiziono 8 a entrambi i membri
$$ 2x^2 - 8 + 8 = 0 + 8 $$
$$ 2x^2 = 8 $$
Sempre applicando la proprietà invariantiva, divido entrambi i membri per 2
$$ \frac{2x^2}{2} = \frac{8}{2} $$
$$ x^2 = 4 $$
Infine, applicando nuovamente la proprietà invariantiva, calcolo la radice quadrata in entrambi i membri.
$$ \sqrt{x^2} = \sqrt{4} $$
In questo modo, la radice al primo membro si semplifica con l'esponente del radicando e ottengo l'incognita x.
La radice quadrata al secondo membro ha indice pari, quindi ha due soluzioni di segno opposto
$$ x = \pm \sqrt{4} $$
$$ x = \pm 2 $$
Pertanto, l'equazione ha due soluzioni reali distinte x1=-2 e x2=2
$$ x = \begin{cases} x_1 = -2 \\ \\ x_2 = 2 \end{cases} $$
Esempio 2
Considero l'equazione pura di 2° grado
$$ 4x^2 + 8 = 0 $$
I coefficienti dell'equazione sono a=4 e c=8
I coefficienti a,c hanno lo stesso segno (concordi). Quindi l'equazione non ha soluzioni reali.
Verifica. Esplicito la x al primo membro dell'equazione, portando tutto il resto al secondo membro. $$ 4x^2 = -8 $$ Per la proprietà invariantiva delle equazioni, divido entrambi i membri per 4 $$ 4x^2 \cdot \frac{1}{4} = -8 \cdot \frac{1}{4}$$ $$ x^2 = - \frac{8}{4} $$ $$ x^2 = - 2 $$ Per la proprietà invariantiva delle equazioni, calcolo la radice quadrata di entrambi i membri. $$ \sqrt{x^2} = \sqrt{ - 2} $$ $$ x = \pm \sqrt{ - 2} $$ Il radicando è negativo e nessun numero reale elevato al quadrato può essere negativo. Quindi, l'equazione non ha soluzioni.
E così via.
