Esercizio calcolo derivata 8

In questo esercizio devo calcolare la derivata della funzione 1/cos(x)

$$ \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\cos(x)}\right) $$

Esistono vari modi possibili per risolvere questa derivata.

Soluzione 1

Per prima cosa, riscrivo la funzione come una potenza $ \frac{1}{\cos(x)} = \cos(x)^{-1} $

$$ \frac{d}{dx} \left( \cos(x)^{-1} \right) $$

Poi calcolo la derivata della funzione \( \cos(x)^{-1} \) utilizzando la regola della catena:

$$ \frac{d}{dx} \left(\cos(x)^{-1}\right) = (-1) \cdot \cos(x)^{-2} \cdot \frac{d}{dx}(\cos(x)) $$

Ho derivato la parte esterna \( \cos(x)^{-1} \) portando giù l'esponente e diminuendolo di 1, e ho moltiplicato tutto per la derivata della funzione interna, che è \( \cos(x) \).

La derivata di \( \cos(x) \) è \( -\sin(x) \). Sostituendo nella formula precedente ottengo:

$$ \frac{d}{dx} \left(\cos(x)^{-1}\right) = (-1) \cdot \cos(x)^{-2} \cdot (-\sin(x)) $$

$$ \frac{d}{dx} \left(\cos(x)^{-1}\right) =  \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} $$

La frazione ottenuta può essere ulteriormente semplificata. Sappiamo che:

$$  \frac{d}{dx} \left(\cos(x)^{-1}\right) = \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)}  $$

$$  \frac{d}{dx} \left(\cos(x)^{-1}\right) = \tan(x) \cdot \frac{1}{\cos(x)} $$

Quindi, la derivata della funzione è la seguente:

$$ \frac{d}{dx} \left(\cos(x)^{-1}\right) = \frac{\tan(x)}{\cos(x)} $$

E' solo uno dei vari possibili per svolgere questa derivata.

Soluzione 2

Esiste un altro modo per calcolare questa derivata utilizzando la definizione della funzione in termini di seno e coseno.

$$ \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\cos(x)}\right) $$

La funzione iniziale è $ f(x) = \frac{1}{\cos(x)} $

Possiamo riscriverla come $ f(x) = \sec(x) $

$$ \frac{d}{dx} \sec(x) $$

C'è una formula ben nota per la derivata della secante $ \frac{d}{dx} \sec(x) = \sec(x) \tan(x) $

Quindi, posso immediatamente scrivere:

$$ \frac{d}{dx} \sec(x) =  \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\cos(x)}\right)  $$

$$ \frac{d}{dx} \sec(x) =  \sec(x) \tan(x)  $$

$$ \frac{d}{dx} \sec(x) =   \frac{1}{\cos(x)} \cdot \tan(x)  $$

$$ \frac{d}{dx} \sec(x) =   \frac{\tan(x)}{\cos(x) } $$

Soluzione 3

Un altro modo ancora consiste nel considerare la funzione iniziale come un quoziente.

$$ \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\cos(x)}\right) $$

Calcolo la derivata applicando la regola del quoziente:

$$ \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\cos(x)}\right) = \frac{0 \cdot \cos(x) - 1 \cdot (-\sin(x))}{\cos^2(x)} $$

$$ \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\cos(x)}\right) = \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} $$

Anche in questo caso, possiamo riscrivere il risultato come \( \tan(x) \sec(x) \).

$$ \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\cos(x)}\right) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \cdot \frac{1}{\cos(x)} $$

Sapendo che sin(x)/cos(x)=tan(x)

$$ \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\cos(x)}\right) = \tan(x) \cdot \frac{1}{ \cos(x) }  $$

Tutti i metodi portano allo stesso risultato:

$$ \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\cos(x)}\right) =   \frac{\tan(x)}{\cos(x) } $$

Quindi ci sono diversi percorsi per raggiungere la stessa risposta, dimostrando la coerenza matematica delle diverse tecniche di derivazione.

E così via.