Esercizio calcolo derivata 7

In questo esercizio devo calcolare la derivata della funzione $-\ln(1 + \cos^2(x))$

$$ \frac{d}{dx} \left( -\ln(1 + \cos^2(x)) \right) $$

Per prima cosa applico la regola del prodotto (k·f)'=k·(f)'e faccio uscire il segno meno dall'operazione di derivazione.

$$ \frac{d}{dx} \left( -1 \cdot \ln(1 + \cos^2(x)) \right) $$

$$ -1 \cdot \frac{d}{dx} \left( \ln(1 + \cos^2(x)) \right) $$

$$ - \frac{d}{dx} \ln(1 + \cos^2(x)) $$

$$ \frac{d}{dx} f[u(x)] = f'[u(x)] \cdot u'(x) $$

Dove $ f= \ln(u) $ e $ u(x)= 1 + \cos^2(x) $

Quindi, per risolverla applico la regola della catena, calcolo la derivata del logaritmo naturale moltiplicata per la derivata del suo argomento.

La derivata del logaritmo naturale $\ln(u)$ è $\frac{1}{u}$ moltiplicata per la derivata di $u$. Qui, $u = 1 + \cos^2(x)$.

$$ - \frac{d}{dx} \ln(1 + \cos^2(x)) = - \left( \frac{d}{du} \ln(u) \cdot \frac{d}{dx} (1 + \cos^2(x)) \right) $$

$$ - \frac{d}{dx} \ln(1 + \cos^2(x)) = - \left( \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{dx} (1 + \cos^2(x)) \right) $$

$$ - \frac{d}{dx} \ln(1 + \cos^2(x)) = - \left( \frac{1}{1 + \cos^2(x)} \cdot \frac{d}{dx} (1 + \cos^2(x)) \right) $$

Calcolo la derivata dell'argomento $1 + \cos^2(x)$ del logaritmo.

La derivata di una somma equivale alla somma delle derivate [f+g]'=f'+g'

$$ - \frac{d}{dx} \ln(1 + \cos^2(x)) = - \left( \frac{1}{1 + \cos^2(x)} \cdot \left[ \frac{d}{dx} 1 + \frac{d}{dx} \cos^2(x) \right] \right) $$

La derivata della costante 1 è 0, mentre la derivata di $\cos^2(x)$ è $2 \cos(x) \cdot (-\sin(x))$.

$$ - \frac{d}{dx} \ln(1 + \cos^2(x)) = - \left( \frac{1}{1 + \cos^2(x)} \cdot \left[ 0 + 2 \cos(x) \cdot (-\sin(x)) \right] \right) $$

$$ - \left( \frac{1}{1 + \cos^2(x)} \cdot \left[-2 \cos(x) \sin(x) \right] \right) $$

$$ \frac{2 \cos(x) \sin(x)}{1 + \cos^2(x)} $$

Sapendo che una identità trigonometrica è $2 \cos(x) \sin(x) = \sin(2x) $ sostituisco $ \cos(x) \sin(x) $ con $ \sin(2x) $

$$ \frac{\sin(2x)}{1 + \cos^2(x)} $$

Quindi, la derivata della funzione è:

$$ \frac{d}{dx} \left( -\ln(1 + \cos^2(x)) \right) = \frac{\sin(2x)}{1 + \cos^2(x)} $$

Questi passaggi spiegano come si è ottiene il risultato finale di questa operazione di derivazione.

E così via.