Esercizio calcolo derivata 6
In questo esercizio devo derivare la funzione \( 2e^{\sqrt{x}} \) rispetto a \( x \).
$$ \frac{d}{dx} \left( 2e^{\sqrt{x}} \right) $$
Poiché 2 è una costante moltiplicata per la variabile da derivare, può essere portata fuori dalla derivata.
Applico la regola della derivata di un prodotto (kf)'=k(f)' e faccio uscire la costante 2 dall'operazione di derivazione.
$$ 2 \cdot \frac{d}{dx} \left( e^{\sqrt{x}} \right) $$
La derivata della funzione esponenziale \( e^{u(x)} \) è la derivata di una funzione composta \( e^{u(x)} \cdot \frac{du}{dx} \), dove \( u(x) = \sqrt{x} \) è una funzione di \( x \).
$$ 2 \cdot \frac{d}{d u} e^{u} \cdot \frac{d}{dx} u $$
$$ 2 \cdot \frac{d}{d u} e^{u} \cdot \frac{d}{dx} \left( \sqrt{x} \right) $$
La derivata dell'esponenziale è semplicemente $ \frac{d}{d u} e^{u} = e^u = e^{\sqrt{x}} $
$$ 2 \cdot e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{d}{dx} \left( \sqrt{x} \right) $$
La derivata della radice quadrata è $ \frac{d}{dx} \left( \sqrt{x} \right) = \frac{1}{2\sqrt{x}} $
$$ 2 \cdot e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} $$
Moltiplico il risultato per la costante iniziale e semplifico.
$$ \require{cancel} \cancel{2} \cdot e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{ \cancel{2} \sqrt{x}} $$
$$ e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{ \sqrt{x} } $$
Quindi, la derivata di \( 2e^{\sqrt{x}} \) rispetto a \( x \) è:
$$ \frac{d}{dx} \left( 2e^{\sqrt{x}} \right) = \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} $$
E così via.
