Esercizio calcolo derivata 5

Devo svolgere la derivata di questa funzione:

\[ \frac{d}{dx} \left(-\ln(\cos(x))\right) \]

Per prima cosa, utilizzo una proprietà delle derivate.

La derivata di una funzione moltiplicata per una costante è la costante moltiplicata per la derivata della funzione.

Quindi, posso portare il fattore -1 al di fuori dell'operazione di derivazione.

\[ -1 \cdot \frac{d}{dx} \left(\ln(\cos(x))\right) \]

\[ -\frac{d}{dx} \left(\ln(\cos(x))\right) \]

La derivata del logaritmo naturale \(\ln(u(x))\) rispetto a \(x\) è \(\frac{1}{u(x)} \cdot \frac{du}{dx}\).

In questo caso, \(u(x) = \cos(x)\).

\[ -\frac{1}{\cos(x)} \cdot \frac{d}{dx}(\cos(x)) \]

La derivata del coseno \(\cos(x)\) rispetto a \(x\) è \(-\sin(x)\).

\[ -\frac{1}{\cos(x)} \cdot (-\sin(x)) \]

Anche in questo caso posso portare fuori il segno -1.

\[ (-1) \cdot -\frac{1}{\cos(x)} \cdot \sin(x) \]

I segni negativi si annullano.

\[ \frac{1}{\cos(x)} \cdot \sin(x) \]

\[ \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \]

In trigonometria il rapporto tra \(\sin(x)\) e \(\cos(x)\) è la tangente \(\tan(x)\).

\[ \tan(x) \]

Pertanto il risultato finale dell'operazione di derivazione è:

\[ \frac{d}{dx} \left(-\ln(\cos(x))\right) = \tan(x) \]

E così via.