Esercizio calcolo della derivata 4

In questo esercizio devo derivare la funzione arctan[sin(x)]

$$ \frac{d}{dx} \arctan(\sin(x)) $$

Si tratta di una funzione composta f(u) dove f=arctan(u) e u=sin(x)

$$ \frac{d}{dx} \arctan(\sin(x)) = [ \frac{d}{dx} \sin(x) ] \cdot \frac{d}{du} \arctan(u) $$

La derivata del seno sin(x) rispetto a x è cos(x).

$$ [ \frac{d}{dx} \sin(x) ] \cdot \frac{d}{du} \arctan(u) $$

$$ \cos(x) \cdot \frac{d}{du} \arctan(u) $$

La derivata dell'arcotangente arctan(u) rispetto a u è $ \frac{d}{du} \arctan(u) = \frac{1}{1+u^2} $

$$ \cos(x) \cdot \frac{1}{1+u^2} $$

Sostitusco $u = \sin(x)$:

$$ \cos(x) \cdot \frac{1}{1+ (\sin(x))^2} $$

Pertanto, il risultato finale è

$$ \frac{\cos(x)}{1+\sin^2(x)} $$

E così via.