Proprietà invariantiva delle frazioni

Se in una frazione moltiplico o divido il numeratore e il denominatore per uno stesso numero k≠0 diverso da zero ottengo una frazione equivalente $$ \frac{a}{b} \sim \frac{a \cdot k}{b \cdot k} \sim \frac{a : k}{b : k} \ \ \ \ \ \ con \ \ \ k \ne 0 $$

Questa proprietà delle frazioni deriva dalla proprietà invariantiva della divisione.

Nota. E' necessario moltiplicare o dividere per un valore k diverso da zero per evitare di incappare in una divisione per zero, ossia in una divisione impossibile. $$ \frac{a \cdot 0}{b \cdot 0} = \frac{0}{0} $$

Un esempio pratico

Considero la frazione

$$ \frac{2}{3} $$

Se moltiplico per 5 sia il numeratore che il denominatore ottengo una frazione equivalente

$$ \frac{2}{3} \sim \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} $$

$$ \frac{2}{3} \sim \frac{10}{15} $$

Verifica. Per verificare se le due frazioni sono equivalenti utilizzo il metodo del prodotto incrociato. $$ \frac{a}{b} \sim \frac{c}{d} \Longleftrightarrow a \cdot d = b \cdot c $$ In questo caso le frazioni sono $$ \frac{2}{3} \sim \frac{10}{15} \Longleftrightarrow 2 \cdot 15 = 3 \cdot 10 $$ $$ \frac{2}{3} \sim \frac{10}{15} \Longleftrightarrow 30 = 30 $$ L'identità è vera. Quindi, le due frazioni sono equivalenti.

Esempio 2

Considero la frazione

$$ \frac{12}{8} $$

Se divido per 4 sia il numeratore che il denominatore, il risultato è una frazione equivalente

$$ \frac{12}{8} \sim \frac{12:4}{8:4} $$

$$ \frac{12}{8} \sim \frac{3}{2} $$

Verifica. Applico il metodo del prodotto in croce $$ \frac{a}{b} \sim \frac{c}{d} \Longleftrightarrow a \cdot d = b \cdot c $$ In questo caso le frazioni sono $$ \frac{12}{8} \sim \frac{3}{2} \Longleftrightarrow 12 \cdot 2 = 8 \cdot 3 $$ $$ \frac{12}{8} \sim \frac{2}{3} \Longleftrightarrow 24 = 24 $$ L'identità è vera. Quindi, le due frazioni sono equivalenti.

E così via.