La matrice simmetrica
Cos'è la matrice simmetrica
Una matrice simmetrica è una matrice quadrata di ordine n con gli elementi simmetrici rispetto alla diagonale principale.
Tutti gli elementi della matrice simmetrica soddisfano l'uguaglianza aij=aji per ogni i,j=1,...,n.
Nota. Soltanto le matrici quadrate possono essere simmetriche. Le matrici con un numero di righe diverso dalle colonne ( m≠n ) non possono essere simmetriche, perché le dimensioni della matrice iniziale e della matrice opposta sono diverse. Inoltre, soltanto le matrici quadrate hanno la diagonale.
Le matrici simmetriche sono indicate con la notazione MS dove S significa Simmetrica.
L'insieme delle matrici simmetriche è anche indicato con S(n, R) dove n è l'ordine e R indica l'insieme dei numeri reali.
L'insieme delle matrici simmetriche S(n,R) è un sottoinsieme dell'insieme delle matrici quadrate a coefficienti reali M(n,n,R) di ordine n.
Un esempio pratico
La seguente matrice ha tre righe ( m=3 ) e tre colonne ( n=3 ). Si tratta di una matrice quadrata ( m=n ).
Essendo una matrice quadrata posso individuare la diagonale della matrice.
Per controllare se si tratta di una matrice simmetrica, analizzo gli elementi della triangolare superiore e inferiore della matrice.
In questo caso si tratta di una matrice simmetrica perché invertendo l'ordine degli indici di riga e colonna il valore degli elementi è sempre lo stesso.
Nota. Quando una matrice quadrata non rispetta la proprietà di simmetria non è una matrice simmetrica.
La matrice simmetrica e trasposta
Qualsiasi matrice simmetrica M è sempre uguale alla sua matrice trasposta MT.
Esempio. Un esempio pratico di matrice simmetrica M uguale alla sua trasposta MT. Sostituendo le righe alle colonne, i valori degli elementi aij sono sempre gli stessi.
Come calcolare la matrice simmetrica
Ogni matrice quadrata di ordine n può assumere una forma simmetrica.
Per calcolare la matrice simmetrica di una matrice quadrata M si utilizza la seguente formula:
Un esempio pratico
Questa matrice è quadrata di ordine 3 ma non è simmetrica.
Per calcolare la matrice simmetrica di M devo prima calcolare la sua matrice trasposta MT
A questo punto applico la formula 1/2·(M+MT).
In questo modo ottengo la matrice simmetrica Ms della matrice M.
A colpo d'occhio si può vedere che gli elementi della matrice Ms sono simmetrici rispetto alla diagonale principale.
La differenza tra matrice simmetrica e antisimmetrica
In una matrice simmetrica vale la relazione aij=aji tra gli elementi.
In una matrice antisimmetrica, invece, gli elementi corrispondenti sono l'opposto aij=-aji.
Nota. Se una matrice non è simmetrica non è detto che sia antisimmetrica. Antisimmetrica non vuole dire "non simmetrica". L'insieme delle matrici simmetriche Sn(R) e antisimmetriche An(R) sono due sottoinsiemi distinti dello spazio Mn(R) composto dalle matrici di ordine n. I sottoinsiemi Sn e An coincidono soltanto nel caso della matrice nulla in quanto è sia simmetrica che antisimmetrica.
Osservazioni sulle matrici simmetriche
Da ricordare sulle matrici simmetriche
- Tutte le matrici nulle sono matrici simmetriche
- La somma della matrice simmetrica MS e antisimmetrica MAS dà come risultato la matrice iniziale M.
- Tutte le matrici diagonali sono matrici simmetriche
Dimostrazione. Le matrici diagonali D(n,R) e le matrici simmetriche S(n,R) sono entrambe matrici quadrate. Sono definite in questo modo.
In una matrice diagonale D(n,R) si verificano due situazioni:
1) Se gli indici sono diversi (i≠j) l'elemento è nullo aij=0. Pertanto gli elementi in posizione simmetrica aij=aji sono uguali aij=aji=0 e soddisfano la condizione delle matrici simmetriche.
2) Se gli indici sono uguali (i=j) invece aij e aji sono lo stesso elemento. Quindi, sono uguali e soddisfano la condizione delle matrici simmetriche.
In conclusione, tutte le matrici diagonali D(n,R) sono anche matrici simmetriche S(n,R).