La chiusura di un insieme è l'unione dell'insieme e dei suoi punti di accumulazione
La chiusura di un insieme \( A \) in uno spazio topologico \( X \), indicata con \(\text{Cl}(A)\), è l'unione dell'insieme \( A \) con l'insieme \( A' \) dei suoi punti di accumulazione. $$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$
Questo teorema descrive la nozione di chiusura di un sottoinsieme \( A \) in uno spazio topologico \((X, \tau)\).
La chiusura di un insieme \( A \) aggiunge a \( A \) tutti i punti che sono "vicini" a \( A \) nel senso topologico.
Dove non necessariamente i punti di accumulazione sono punti dell'insieme A.
Da questo teorema si deduce che un insieme A è un chiuso se e solo se contiene al suo interno tutti i suoi punti di accumulazione. $$ A \text{ è chiuso } \ \Leftrightarrow \ A = A \cup A' = \text{Cl}(A) $$ In altre parole, un insieme è chiuso se e solo se coincide con la sua chiusura.
Un esempio pratico
Considero l'insieme \( A = (0, 1) \) in uno spazio euclideo \(\mathbb{R}\) con la topologia standard.
$$ A = (0,1) $$
Questo insieme è composto da tutti i numeri reali da 0 a 1 esclusi.
Vediamo quali sono i punti di accumulazione:
- Ogni punto x dell'intervallo (0,1) è un punto di accumulazione, perché se prendo un punto x∈(0,1) in qualsiasi suo intorno (x-ε,x+ε) trovo altri punti dell'insieme A.
- L'estremo 0 è un punto di accumulazione di A, perché in qualsiasi intorno di questo punto (0,0+ε) trovo altri punti dell'insieme A.
- L'estremo 1 è un altro punto di accumulazione dell'insieme A, perché in qualsiasi suo intorno (1-ε,1) trovo altri punti appartenenti all'insieme A.
Pertanto, l'insieme A' composto dai punti di accumulazione di A è il seguente.
$$ A' = [0,1] $$
L'unione dei punti dell'insieme A=(0,1) e dei suoi punti di accumulazione A'=[0,1] è la chiusura dell'insieme
$$ \text{Cl}(A) = A \cup A' = [0,1] $$
Poiché la chiusura di A non coincide con l'insieme A, posso affermare che l'insieme A non è chiuso in questa topologia.
$$ A \ne \text{Cl}(A) $$
Esempio 2
Considero l'insieme \( B = [0, 1] \) nello spazio dei numeri reali \( \mathbb{R} \) con la topologia standard.
$$ B = [0,1] $$
L'insieme \( B = [0, 1] \) è l'intervallo chiuso che contiene tutti i numeri reali \( x \) tali che \( 0 \leq x \leq 1 \).
Trovo i punti di accumulazione di \( B \)
Un punto \( x \) è un punto di accumulazione di \( B \) se ogni intorno di \( x \) contiene almeno un punto di \( B \) diverso da \( x \) stesso.
- Se \( x \in (0, 1) \), allora per ogni intorno \( U \) di \( x \), esiste un \( y \in B \) tale che \( y \neq x \). Quindi, ogni punto in \( (0, 1) \) è un punto di accumulazione.
- Se \( x = 0 \) o \( x = 1 \), ogni intorno di \( x \) conterrà punti di \( B \) (perché gli intorni di \( 0 \) e \( 1 \) in \(\mathbb{R}\) includono sempre parti dell'intervallo chiuso \( [0, 1] \)). Quindi, \( 0 \) e \( 1 \) sono punti di accumulazione di \( B \).
Pertanto, l'insieme dei punti di accumulazione di \( B \) è
$$ B' = [0, 1] \setminus \{0, 1\} = (0, 1) \cup \{0, 1\} = [0, 1] $$
A questo punto calcolo la chiusura di \( B \)
La chiusura di \( B \), denotata \( \text{Cl}(B) \), è l'unione di \( B \) con l'insieme dei suoi punti di accumulazione.
$$ \text{Cl}(B) = B \cup B' = [0, 1] \cup [0, 1] = [0, 1] $$
In questo caso l'insieme \( B \) un insieme è chiuso perché coincide con la sua chiusura.
$$ B = \text{Cl}(B) = [0, 1] $$
Questo esempio conferma che un insieme è chiuso se e solo se coincide con la sua chiusura.
La dimostrazione
Ecco una dimostrazione del fatto che la chiusura di un insieme \( A \) in uno spazio topologico \( X \) è l'unione di \( A \) con l'insieme \( A' \) dei suoi punti di accumulazione, ovvero che \( \text{Cl}(A) = A \cup A' \).
Per prima cosa scrivo le definizioni di chiusura e di punto di accumulazione:
- Chiusura di \( A \): \( \text{Cl}(A) \) è l'intersezione di tutti gli insiemi chiusi che contengono \( A \).
- Punto di accumulazione: Un punto \( x \in X \) è un punto di accumulazione di \( A \) se ogni intorno di \( x \) contiene almeno un punto di \( A \) diverso da \( x \).
Devo dimostrare che \( \text{Cl}(A) = A \cup A' \), dove \( A' \) è l'insieme dei punti di accumulazione di \( A \).
Suddivido questa dimostrazione in tre passaggi:
1] L'unione A∪A' è un sottoinsieme della chiusura di A
Per definizione, \( \text{Cl}(A) \) è l'intersezione di tutti gli insiemi chiusi che contengono \( A \).
$$ A \subseteq \text{Cl}(A) $$
Considero un punto \( x \in A' \) dell'insieme dei punti di accumulazione di \( A \)
Per la definizione del punto di accumulazione, ogni intorno di \( x \) contiene un punto di \( A \) diverso da \( x \).
Suppongo, per assurdo, che il punto \( x \notin \text{Cl}(A) \) non appartenga alla chiusura di A
Se \( x \notin \text{Cl}(A) \), allora esiste un intorno \( U \) di \( x \) tale che \( U \cap \text{Cl}(A) = \emptyset \).
Poiché \( A \subseteq \text{Cl}(A) \), si ha \( U \cap A = \emptyset \).
Questo però contraddice il fatto che \( x \in A' \) è un punto di accumulazione, perché per definizione, ogni intorno di \( x \) deve intersecare \( A \) in almeno un punto diverso da \( x \).
Quindi, l'ipotesi \( x \notin \text{Cl}(A) \) è falsa e, di consequenza, è vera l'affermazione contraria ovvero \( x \in \text{Cl}(A) \).
Di conseguenza, l'insieme A' dei punti di accumulazione è un sottoinsieme della chiusura di A.
$$ A' \subseteq \text{Cl}(A) $$
Fin qui ho dimostrato che sia A che A' sono sottoinsiemi della chiusura di A.
$$ A \subseteq \text{Cl}(A) $$
$$ A' \subseteq \text{Cl}(A) $$
Pertanto anche la loro unione A∪A' è un sottoinsieme della chiusura di A.
$$ A \cup A' \subseteq \text{Cl}(A) $$
2] La chiusura di A è un sottoinsieme dell'unione A∪A'
Considero un punto qualsiasi della chiusura \( x \in \text{Cl}(A) \).
Suppongo per ipotesi che \( x \notin A \) non appartenga all'insieme A.
Poiché \( x \in \text{Cl}(A) \) ma \( x \notin A \), ogni intorno \( U \) di \( x \) deve intersecare \( A \).
Se esistesse un intorno \( U \) di \( x \) tale che \( U \cap A = \emptyset \), \( x \) non sarebbe in \( \text{Cl}(A) \).
Pertanto, per ogni intorno \( U \) di \( x \), \( U \cap A \neq \emptyset \), cioè \( x \) è un punto di accumulazione di \( A \).
Quindi, \( x \in A' \).
Da ciò segue che:
\[ x \in A \cup A' \]
Ho così dimostrato che:
\[ \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' \]
3] Conclusione
Sapendo dai risultati appena ottenuti che:
$$ A \cup A' \subseteq \text{Cl}(A) $$
$$ \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' $$
Posso affermare che la chiusura di un insieme \( A \) in uno spazio topologico \( X \) è esattamente l'unione di \( A \) con l'insieme dei suoi punti di accumulazione.
\[ \text{Cl}(A) = A \cup A' \]
E così via.