La chiusura di un insieme è l'unione dell'insieme e dei suoi punti di accumulazione

La chiusura di un insieme $ A $ in uno spazio topologico $ X $, indicata con $\text{Cl}(A)$, è l'unione dell'insieme $ A $ con l'insieme $ A' $ dei suoi punti di accumulazione. $$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$

Questo teorema descrive la nozione di chiusura di un sottoinsieme $ A $ in uno spazio topologico $(X, \tau)$.

La chiusura di un insieme $ A $ aggiunge a $ A $ tutti i punti che sono "vicini" a $ A $ nel senso topologico.

Dove non necessariamente i punti di accumulazione sono punti dell'insieme A.

Da questo teorema si deduce che un insieme A è un chiuso se e solo se contiene al suo interno tutti i suoi punti di accumulazione. $$ A \text{ è chiuso } \ \Leftrightarrow \ A = A \cup A' = \text{Cl}(A) $$ In altre parole, un insieme è chiuso se e solo se coincide con la sua chiusura.

Un esempio pratico
La dimostrazione

Un esempio pratico

Considero l'insieme $ A = (0, 1) $ in uno spazio euclideo $\mathbb{R}$ con la topologia standard.

$$ A = (0,1) $$

Questo insieme è composto da tutti i numeri reali da 0 a 1 esclusi.

Vediamo quali sono i punti di accumulazione:

Ogni punto x dell'intervallo (0,1) è un punto di accumulazione, perché se prendo un punto x∈(0,1) in qualsiasi suo intorno (x-ε,x+ε) trovo altri punti dell'insieme A.
L'estremo 0 è un punto di accumulazione di A, perché in qualsiasi intorno di questo punto (0,0+ε) trovo altri punti dell'insieme A.
L'estremo 1 è un altro punto di accumulazione dell'insieme A, perché in qualsiasi suo intorno (1-ε,1) trovo altri punti appartenenti all'insieme A.

Pertanto, l'insieme A' composto dai punti di accumulazione di A è il seguente.

$$ A' = [0,1] $$

L'unione dei punti dell'insieme A=(0,1) e dei suoi punti di accumulazione A'=[0,1] è la chiusura dell'insieme

$$ \text{Cl}(A) = A \cup A' = [0,1] $$

Poiché la chiusura di A non coincide con l'insieme A, posso affermare che l'insieme A non è chiuso in questa topologia.

$$ A \ne \text{Cl}(A) $$

Esempio 2

Considero l'insieme $ B = [0, 1] $ nello spazio dei numeri reali $ \mathbb{R} $ con la topologia standard.

$$ B = [0,1] $$

L'insieme $ B = [0, 1] $ è l'intervallo chiuso che contiene tutti i numeri reali $ x $ tali che $ 0 \leq x \leq 1 $.

Trovo i punti di accumulazione di $ B $

Un punto $ x $ è un punto di accumulazione di $ B $ se ogni intorno di $ x $ contiene almeno un punto di $ B $ diverso da $ x $ stesso.

Se $ x \in (0, 1) $, allora per ogni intorno $ U $ di $ x $, esiste un $ y \in B $ tale che $ y \neq x $. Quindi, ogni punto in $ (0, 1) $ è un punto di accumulazione.
Se $ x = 0 $ o $ x = 1 $, ogni intorno di $ x $ conterrà punti di $ B $ (perché gli intorni di $ 0 $ e $ 1 $ in $\mathbb{R}$ includono sempre parti dell'intervallo chiuso $ [0, 1] $). Quindi, $ 0 $ e $ 1 $ sono punti di accumulazione di $ B $.

Pertanto, l'insieme dei punti di accumulazione di $ B $ è

$$ B' = [0, 1] \setminus \{0, 1\} = (0, 1) \cup \{0, 1\} = [0, 1] $$

A questo punto calcolo la chiusura di $ B $

La chiusura di $ B $, denotata $ \text{Cl}(B) $, è l'unione di $ B $ con l'insieme dei suoi punti di accumulazione.

$$ \text{Cl}(B) = B \cup B' = [0, 1] \cup [0, 1] = [0, 1] $$

In questo caso l'insieme $ B $ un insieme è chiuso perché coincide con la sua chiusura.

$$ B = \text{Cl}(B) = [0, 1] $$

Questo esempio conferma che un insieme è chiuso se e solo se coincide con la sua chiusura.

La dimostrazione

Ecco una dimostrazione del fatto che la chiusura di un insieme $ A $ in uno spazio topologico $ X $ è l'unione di $ A $ con l'insieme $ A' $ dei suoi punti di accumulazione, ovvero che $ \text{Cl}(A) = A \cup A' $.

Per prima cosa scrivo le definizioni di chiusura e di punto di accumulazione:

Chiusura di $ A $: $ \text{Cl}(A) $ è l'intersezione di tutti gli insiemi chiusi che contengono $ A $.
Punto di accumulazione: Un punto $ x \in X $ è un punto di accumulazione di $ A $ se ogni intorno di $ x $ contiene almeno un punto di $ A $ diverso da $ x $.

Devo dimostrare che $ \text{Cl}(A) = A \cup A' $, dove $ A' $ è l'insieme dei punti di accumulazione di $ A $.

Suddivido questa dimostrazione in tre passaggi:

1] L'unione A∪A' è un sottoinsieme della chiusura di A

Per definizione, $ \text{Cl}(A) $ è l'intersezione di tutti gli insiemi chiusi che contengono $ A $.

$$ A \subseteq \text{Cl}(A) $$

Considero un punto $ x \in A' $ dell'insieme dei punti di accumulazione di $ A $

Per la definizione del punto di accumulazione, ogni intorno di $ x $ contiene un punto di $ A $ diverso da $ x $.

Suppongo, per assurdo, che il punto $ x \notin \text{Cl}(A) $ non appartenga alla chiusura di A

Se $ x \notin \text{Cl}(A) $, allora esiste un intorno $ U $ di $ x $ tale che $ U \cap \text{Cl}(A) = \emptyset $.

Poiché $ A \subseteq \text{Cl}(A) $, si ha $ U \cap A = \emptyset $.

Questo però contraddice il fatto che $ x \in A' $ è un punto di accumulazione, perché per definizione, ogni intorno di $ x $ deve intersecare $ A $ in almeno un punto diverso da $ x $.

Quindi, l'ipotesi $ x \notin \text{Cl}(A) $ è falsa e, di consequenza, è vera l'affermazione contraria ovvero $ x \in \text{Cl}(A) $.

Di conseguenza, l'insieme A' dei punti di accumulazione è un sottoinsieme della chiusura di A.

$$ A' \subseteq \text{Cl}(A) $$

Fin qui ho dimostrato che sia A che A' sono sottoinsiemi della chiusura di A.

$$ A \subseteq \text{Cl}(A) $$

$$ A' \subseteq \text{Cl}(A) $$

Pertanto anche la loro unione A∪A' è un sottoinsieme della chiusura di A.

$$ A \cup A' \subseteq \text{Cl}(A) $$

2] La chiusura di A è un sottoinsieme dell'unione A∪A'

Considero un punto qualsiasi della chiusura $ x \in \text{Cl}(A) $.

Suppongo per ipotesi che $ x \notin A $ non appartenga all'insieme A.

Poiché $ x \in \text{Cl}(A) $ ma $ x \notin A $, ogni intorno $ U $ di $ x $ deve intersecare $ A $.

Se esistesse un intorno $ U $ di $ x $ tale che $ U \cap A = \emptyset $, $ x $ non sarebbe in $ \text{Cl}(A) $.

Pertanto, per ogni intorno $ U $ di $ x $, $ U \cap A \neq \emptyset $, cioè $ x $ è un punto di accumulazione di $ A $.

Quindi, $ x \in A' $.

Da ciò segue che:

\[ x \in A \cup A' \]

Ho così dimostrato che:

\[ \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' \]

3] Conclusione

Sapendo dai risultati appena ottenuti che:

$$ A \cup A' \subseteq \text{Cl}(A) $$

$$ \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' $$

Posso affermare che la chiusura di un insieme $ A $ in uno spazio topologico $ X $ è esattamente l'unione di $ A $ con l'insieme dei suoi punti di accumulazione.

\[ \text{Cl}(A) = A \cup A' \]

E così via.