Proprietà di inclusione della chiusura in un insieme chiuso

Se $ C $ è un insieme chiuso nello spazio topologico $ X $ e l'insieme $ A $ è contenuto in $ C $, allora la chiusura di $ A $, denotata come $ \text{Cl}(A) $, è un sottoinsieme di $ C $. $$ A \subseteq C \ , \ C \text{ è chiuso } \implies \operatorname{Cl}(A) \subseteq C $$

Questo accade perché la chiusura di $ A $ è il più piccolo insieme chiuso che contiene $ A $, e poiché $ C $ è già chiuso e contiene $ A $, deve necessariamente contenere anche $ \text{Cl}(A) $.

Pertanto, $ \text{Cl}(A) $ non può estendersi al di fuori di $ C $.

Un esempio pratico
La dimostrazione

Un esempio pratico

Considero lo spazio topologico $X = \mathbb{R}$ dei numeri reali con la topologia standard.

Nella topologia standard gli insiemi aperti sono gli intervalli aperti.

Prendo come esempio l'insieme $C = [0, 2]$, che è un insieme chiuso in $\mathbb{R}$.

$$ C = [0,2] $$

Scelgo un sottoinsieme, ad esempio l'insieme aperto $A = (0, 1)$, che è un sottoinsieme di $C$.

$$ A = (0,1) $$

A questo punto verifico la chiusura dell'insieme $A$:

La chiusura di $A$, $\operatorname{Cl}(A)$, è l'insieme più piccolo chiuso in $\mathbb{R}$ che contiene $A$.

Pertanto, la chiusura di $(0, 1)$ è $[0, 1]$, poiché $[0, 1]$ è il più piccolo insieme chiuso che contiene tutti i punti di $(0, 1)$ insieme ai suoi punti di accumulazione (0 e 1).

$$ Cl(A) = [0,1] $$

Sapendo che $ A $ è un sottoinsieme dell'insieme chiuso $ C $

$$ A = (0, 1) \subseteq C = [0, 2] $$

Secondo la proprietà la chiusura $\operatorname{Cl}(A)$ deve essere contenuta in $C$.

$$ \text{Cl}(A) \subseteq C $$

Infatti, $\operatorname{Cl}(A) = [0, 1]$ e si può subito verificare che $[0, 1] \subseteq [0, 2]$.

$$ \text{Cl}(A) )= [0,1] \subseteq [0,2] = C $$

Il risultato è $(0, 1) \subseteq [0, 2]$ e la chiusura $\operatorname{Cl}((0, 1)) = [0, 1]$ è effettivamente un sottoinsieme di $[0, 2]$.

Questo esempio pratico mostra che se $A$ è un sottoinsieme di un insieme chiuso $C$ in uno spazio topologico $X$, allora la chiusura di $A$ è contenuta in $C$.

La dimostrazione

Per definizione, $C$ è chiuso in $X$, quindi il suo complemento $X \setminus C$ è un insieme aperto in $X$.

Per ipotesi so già che $A \subseteq C$.

La chiusura di $A$, indicata come $\operatorname{Cl}(A)$, è il più piccolo insieme chiuso in $X$ che contiene $A$.

In altre parole, $\operatorname{Cl}(A)$ è l'intersezione di tutti gli insiemi chiusi in $X$ che contengono $A$.

Poiché $C$ è un insieme chiuso in $X$ e contiene $A$, $C$ è uno degli insiemi nella collezione degli insiemi chiusi che contengono $A$.

La chiusura $\operatorname{Cl}(A)$ essendo l'intersezione di tutti gli insiemi chiusi che contengono $A$, sarà anch'essa contenuta in $C$, poiché $C$ è uno di quegli insiemi.

Quindi, posso concludere che la chiusura di A è un sottoinsieme dell'insieme chiuso C

$$ \operatorname{Cl}(A) \subseteq C $$

In parole povere, poiché $C$ è chiuso e contiene $A$, e dato che la chiusura di $A$ è il più piccolo insieme chiuso contenente $A$, la chiusura di $A$ deve necessariamente essere contenuta in $C$.

E così via.