La proprietà monotona della chiusura degli insiemi
La proprietà monotona della chiusura degli insiemi afferma che se \( A \) e \( B \) sono due insiemi qualsiasi (non necessariamente chiusi) e \( A \) è un sottoinsieme di \( B \), allora la chiusura di \( A \) è un sottoinsieme della chiusura di \( B \).\[ A \subseteq B \implies \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \]
Il concetto è ovvio e non occorrerebbe nemmeno dirlo.
Se prendo una scatola piccola e la chiudo, poi la metto dentro una scatola più grande. Chiudendo anche quest'ultima, la scatola piccola resterà chiusa all'interno della scatola grande.
Un esempio concreto
Prendo come esempio uno spazio topologico ben noto: la retta reale \(\mathbb{R}\) con la topologia standard.
Nella topologia reale gli insiemi aperti sono gli intervalli aperti.
Considero i seguenti insiemi in \(\mathbb{R}\):
\[ A = (0, 1) \]
\[ B = [0, 2] \]
È chiaro che \( A \) è un sottoinsieme di \( B \) perché ogni elemento di \( A \) è anche un elemento di \( B \).
\[ A \subseteq B \]
La chiusura dell'insieme \(A\)
L'insieme \( A \) è l'intervallo aperto \( (0, 1) \).
La chiusura di \( A \) è data da \( A \) unito con i suoi punti di accumulazione.
Gli unici punti di accumulazione di \( A \) sono \( 0 \) e \( 1 \), perché ogni intorno di \( 0 \) e di \( 1 \) contiene punti di \( A \).
Quindi, la chiusura di \( A \) è la seguente:
\[ \text{Cl}(A) = [0, 1] \]
La chiusura dell'insieme \(B\)
L'insieme \( B \) è l'intervallo chiuso \([0, 2]\).
La chiusura di \( B \) è \( B \) stesso, poiché \( B \) è già un insieme chiuso e include tutti i suoi punti di accumulazione.
\[ \text{Cl}(B) = [0, 2] \]
In conclusione
Sapendo che \( \text{Cl}(A) = [0, 1] \) e \( \text{Cl}(B) = [0, 2] \), è evidente che anche la chiusura di \( A \) è un sottoinsieme della chiusura di \( B \):
\[ \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \]
Infatti, l'intervallo \([0, 1]\) è un sottoinsieme dell'intervallo \([0, 2]\), confermando che la chiusura di \( A \) è un sottoinsieme della chiusura di \( B \).
Questo conferma la proprietà monotona della chiusura degli insiemi.
La dimostrazione
Per ipotesi iniziale, considero l'insieme \( A \) come un sottoinsieme di \( B \):
\[ A \subseteq B \]
Devo dimostrare che \( \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \).
Poiché \( A \subseteq B \), è ovvio che tutti i punti di \( A \) sono anche punti di \( B \).
Un punto \( x \in \text{Cl}(A) \) se e solo se ogni intorno di \( x \) contiene almeno un punto di \( A \) (diverso da \( x \) stesso se \( x \in A \)).
Poiché \( A \subseteq B \), ogni intorno di \( x \) che contiene un punto di \( A \) conterrà anche un punto di \( B \), perché \( A \) è contenuto in \( B \).
La chiusura di un insieme \( X \) è l'intersezione di tutti gli insiemi chiusi che contengono \( X \).
Dato che \( A \subseteq B \), ogni insieme chiuso che contiene \( B \) conterrà anche \( A \).
Pertanto, l'intersezione di tutti gli insiemi chiusi che contengono \( B \) sarà un insieme che contiene anche tutti i punti di accumulazione di \( A \).
Quindi, \( \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \) perché ogni punto di \( A \) è anche un punto di \( B \), e ogni punto di accumulazione di \( A \) è anche un punto di accumulazione di \( B \) a causa dell'inclusione di \( A \) in \( B \).
In conclusione, se \( A \subseteq B \), allora la chiusura di \( A \) è un sottoinsieme della chiusura di \( B \), ossia \( \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \).
Questa proprietà deriva direttamente dalla definizione di chiusura e dalla relazione di inclusione tra \( A \) e \( B \).
E così via.
