La proprietà caratterizzante degli insiemi chiusi

Un insieme A è chiuso se e solo se la chiusura di A coincide con l'insieme A nello spazio topologico. $$ A = \text{Cl}(A) $$

Esempio pratico

Considero lo spazio topologico \( \mathbb{R} \) con la topologia standard e l'insieme \( A = [0, 1] \).

Un insieme è chiuso se contiene tutti i suoi punti di accumulazione. I punti di accumulazione di \( A = [0, 1] \) sono tutti i punti tra \( 0 \) e \( 1 \), inclusi gli estremi.

L'insieme \( A \) contiene chiaramente tutti questi punti, quindi l'insieme \( A \) è un insieme chiuso.

A questo punto verifico se \( A = \text{Cl}(A) \)

La chiusura di \( A \) nel senso della topologia standard è l'insieme stesso, \( \text{Cl}(A) = [0, 1] \), poiché \( [0, 1] \) contiene tutti i suoi punti di accumulazione.

$$ A = \text{Cl}(A) $$

Questo esempio conferma che l'insieme \( A = [0, 1] \) è chiuso poiché \( A \) coincide con la sua chiusura.

Inoltre, conferma che un insieme \( A \) è chiuso se e solo se \( A = \text{Cl}(A) \).

La dimostrazione

Allora, ricominciamo dalle basi:

• Definizione di chiusura: La chiusura di un insieme \( A \), denotata come \( \text{Cl}(A) \), è l'insieme di tutti i punti di \( A \) più i suoi punti di accumulazione. Formalmente: \[ \text{Cl}(A) = A \cup \{x \in X \mid \text{ ogni intorno di x contiene un punto di A } \} \]
• Insieme chiuso: Un insieme \( A \) è definito chiuso se contiene tutti i suoi punti di accumulazione. Quindi, \( A \) è chiuso se e solo se \( A = \text{Cl}(A) \).

Devo dimostrare l'implicazione in entrambe le direzioni:

1] Se \( A \) è chiuso, allora \( A = \text{Cl}(A) \):

Se \( A \) è chiuso, per definizione, contiene tutti i suoi punti di accumulazione.

Quindi, non ci sono punti di accumulazione di \( A \) che non sono già in \( A \).

 Dato che la chiusura di \( A \) è l'unione di \( A \) con i suoi punti di accumulazione, ottengo:

$$  \text{Cl}(A) = A \cup \{ \text{ punti di accumulazione di A } \} = A $$

Quindi, \( A = \text{Cl}(A) \).

2] Se \( A = \text{Cl}(A) \), allora \( A \) è chiuso:

Se \( A = \text{Cl}(A) \), significa che \( A \) contiene tutti i suoi punti di accumulazione, poiché \( \text{Cl}(A) \) include tutti i punti di \( A \) più i suoi punti di accumulazione.

Pertanto, per definizione, \( A \) è chiuso.

E così via.