Le equazioni spurie
Un'equazione spuria di 2° grado è un'equazione ax2+bx+c=0 con il coefficiente c=0 nullo e i coefficienti a,b≠0 non nulli. $$ ax^2 + bx = 0 $$
Come trovare le soluzioni di un'equazione spuria
Per risolvere questo tipo di equazione metto in evidenza la variabile incognita x
$$ x \cdot (ax+b) = $$
Poi applico la legge di annullamento del prodotto
L'equazione x(ax+b)=0 si annulla quando x=0 (soluzione banale) oppure ax+b=0.
$$ x = 0 $$
$$ x = - \frac{b}{a} $$
Pertanto, l'equazione spuria ha sempre due soluzioni reali e una delle due soluzioni è sempre nulla (x=0).
Nota. E' il metodo più rapido per trovare le soluzioni reali delle equazioni spurie.
Un esempio pratico
Considero l'equazione di 2° grado
$$ 2x^2 + 4x = 0 $$
Raccolgo l'incognita x al primo membro
$$ x \cdot (2x + 4) = 0 $$
Poi applico la legge di annullamento del prodotto.
Una soluzione reale è x=0
$$ x = 0 $$
Nota. Se x=0 il prodotto 0·(2x+4)=0 è sempre uguale a zero. Questa soluzione è detta anche soluzione banale dell'equazione spuria.
La seconda soluzione reale la trovo risolvendo l'equazione di primo grado 2x+4=0 al secondo fattore
$$ 2x+4=0 $$
$$ x = - \frac{4}{2} = - 2 $$
Pertanto, la seconda soluzione è x=-2.
Nota. Se x=-2 l'equazione 2x+4=0 si annulla e il prodotto x(2x+4)=0 si riduce a una moltiplicazione per zero x·0=0 perché il secondo fattore è nullo. Il prodotto di un numero moltiplicato per zero è sempre uguale a zero.
In conclusione, le due soluzioni reali dell'equazione spuria sono x=0 e x=-2.
La dimostrazione
Considero l'equazione spuria di 2° grado nella sua forma generale
$$ ax^2 + bx = 0 $$
Riscrivo l'equazione in questa forma equivalente mettendo in evidenza l'incognita x
$$ x \cdot (ax + b ) = 0 $$
In questa forma l'equazione è un prodotto tra due fattori x e (ax+b)
La prima soluzione (banale)
Se x=0 il primo fattore si annulla e qualsiasi prodotto per zero è sempre uguale a zero.
$$ 0 \cdot (ax + b ) = 0 $$
Quindi l'equazione ax2+bx=0 è soddisfatta
La seconda soluzione
Quando ax+b=0 il secondo fattore si annulla e qualsiasi moltiplicazione per zero è sempre uguale a zero.
$$ x \cdot \underbrace{ (ax + b ) }_{0} = 0 $$
$$ x \cdot 0 = 0 $$
Anche in questo caso l'equazione ax2+bx=0 è soddisfatta
Per trovare i valori dell'incognita x in cui il secondo fattore è nullo risolvo l'equazione di primo grado ax+b=0
$$ ax+b= 0 $$
$$ x = - \frac{b}{a} $$
Pertanto x=-b/a è la seconda soluzione reale dell'equazione spuria ax2+bx=0
E così via.
