Sottrazione del seno

La formula della sottrazione del seno è la seguente: $$ \sin(\alpha -\beta) = \sin \alpha \cos \beta - \sin \beta \cos \alpha $$

E' sbagliato scrivere

$$ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha - \sin \beta $$

Un esempi pratico

Considero due angoli a=90° e b=30°

$$ \sin a = \sin 90° = 1 $$

$$ \sin b = \sin 30° = \frac{1}{2} $$

Nota. Il seno a-b non è uguale alla differenza del seno degli angoli. $$ \sin (a-b) \ne \sin a - \sin b $$ $$ \sin (90°-30°) \ne \sin 90° - \sin 30° = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $$ In realtà, il seno di 90°-30° è il seno di 60° che a sua volta è pari alla radice di tre fratto due. $$ \sin(90°-30°) = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

Calcolo il seno della differenza a-b usando la formula della sottrazione del seno

$$ \sin(a-b) = \sin a \cos b - \sin b \cos a $$

Sostituisco gli angoli a=90° e b=30°

$$ \sin(90°-30°) = \sin 90° \cos 30° - \sin 30° \cos 90° $$

Sapendo che sin(90°)=1 e cos(90°)=0.

$$ \sin(90°-30°) = 1 \cdot \cos 30° - \sin 30° \cdot 0 $$

$$ \sin(90°-30°) = \cos 30° $$

Sapendo che cos(30°)=√3/2

$$ \sin(90°-30°) = \frac{ \sqrt{3}}{2} $$

Pertanto, il seno di 90°-30° è √3/2.

$$ \sin(90°-30°) = \sin (60°) = \frac{ \sqrt{3}}{2} $$

Il risultato è corretto.

La dimostrazione

Il seno dalla differenza di due angoli

$$ \sin( a - b) $$

lo scrivo in questa forma equivalente

$$ \sin( a - b) = \sin [ a + (- b) ] $$

In questo modo posso applicare la formula dell'addizione del seno

$$ \sin( a - b) = \sin [ a + (- b) ] = \sin a \cos (- b) + \sin ( - b ) \cos a $$

Il seno è una funzione dispari. Quindi sen(-b) = -sen(b).

$$ \sin( a - b) = \sin [ a + (- b) ] = \sin a \cos (- b) + [ - \sin ( b ) ] \cos a $$

$$ \sin( a - b) = \sin [ a + (- b) ] = \sin a \cos (- b) - \sin ( b ) \cos a $$

Il coseno è una funzione pari. Quindi, cos(-b) = cos(b)

$$ \sin( a - b) = \sin [ a + (- b) ] = \sin a \cos (b) - \sin ( b ) \cos a $$

Ho ottenuto la formula che volevo dimostrare.

E così via.

 


 

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