Sottrazione del seno
La formula della sottrazione del seno è la seguente: $$ \sin(\alpha -\beta) = \sin \alpha \cos \beta - \sin \beta \cos \alpha $$
E' sbagliato scrivere
$$ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha - \sin \beta $$
Un esempi pratico
Considero due angoli a=90° e b=30°
$$ \sin a = \sin 90° = 1 $$
$$ \sin b = \sin 30° = \frac{1}{2} $$
Nota. Il seno a-b non è uguale alla differenza del seno degli angoli. $$ \sin (a-b) \ne \sin a - \sin b $$ $$ \sin (90°-30°) \ne \sin 90° - \sin 30° = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $$ In realtà, il seno di 90°-30° è il seno di 60° che a sua volta è pari alla radice di tre fratto due. $$ \sin(90°-30°) = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} $$
Calcolo il seno della differenza a-b usando la formula della sottrazione del seno
$$ \sin(a-b) = \sin a \cos b - \sin b \cos a $$
Sostituisco gli angoli a=90° e b=30°
$$ \sin(90°-30°) = \sin 90° \cos 30° - \sin 30° \cos 90° $$
Sapendo che sin(90°)=1 e cos(90°)=0.
$$ \sin(90°-30°) = 1 \cdot \cos 30° - \sin 30° \cdot 0 $$
$$ \sin(90°-30°) = \cos 30° $$
Sapendo che cos(30°)=√3/2
$$ \sin(90°-30°) = \frac{ \sqrt{3}}{2} $$
Pertanto, il seno di 90°-30° è √3/2.
$$ \sin(90°-30°) = \sin (60°) = \frac{ \sqrt{3}}{2} $$
Il risultato è corretto.
La dimostrazione
Il seno dalla differenza di due angoli
$$ \sin( a - b) $$
lo scrivo in questa forma equivalente
$$ \sin( a - b) = \sin [ a + (- b) ] $$
In questo modo posso applicare la formula dell'addizione del seno
$$ \sin( a - b) = \sin [ a + (- b) ] = \sin a \cos (- b) + \sin ( - b ) \cos a $$
Il seno è una funzione dispari. Quindi sen(-b) = -sen(b).
$$ \sin( a - b) = \sin [ a + (- b) ] = \sin a \cos (- b) + [ - \sin ( b ) ] \cos a $$
$$ \sin( a - b) = \sin [ a + (- b) ] = \sin a \cos (- b) - \sin ( b ) \cos a $$
Il coseno è una funzione pari. Quindi, cos(-b) = cos(b)
$$ \sin( a - b) = \sin [ a + (- b) ] = \sin a \cos (b) - \sin ( b ) \cos a $$
Ho ottenuto la formula che volevo dimostrare.
E così via.