Formula di sottrazione della tangente

La formula della sottrazione della tangente è la seguente $$ \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta} $$

La formula è definita se la differenza a-b è diversa da ±90° + k·180° dove k è un numero intero.

$$ \alpha - \beta \ne \frac{\pi}{2}+ k \cdot \pi \ \ \ \ \ k \in Z $$

Poiché in questi punti la tangente è indefinita.

Un esempio pratico

Prendo in considerazione la tangente di due angoli a=60° e a=30°

$$ \tan a = \tan 60° = \sqrt{3} $$

$$ \tan b = \tan 30° = \frac{\sqrt{3}}{3} $$

La tangente della somma a-b è la tangente di 30°.

$$ \tan (a-b) = \tan(60°-30)= \tan(30°) = \frac{\sqrt{3}}{3} $$

Nota. La tangente della differenza tra gli angoli a-b non è uguale alla differenza tra le tangenti degli angoli. $$ \tan(60°-30)= \tan(30°) = \frac{\sqrt{3}}{3} \ne \tan(60°) - \tan(30°) = \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3\sqrt{3} - \sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3} $$

Per sottrarre i due angoli uso la formula della sottrazione della tangente

$$ \tan (a-b) = \frac{ \tan a - \tan b }{1+\tan a \tan b} $$

Dove a=60° e b=30°.

$$ \tan (60°-30°) = \frac{ \tan 60° - \tan 30° }{1+\tan 60° \tan 30°} $$

$$ \tan (60°-30°) = \frac{ \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} }{1+\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} } $$

$$ \tan (60°-30°) = \frac{ \frac{3\sqrt{3} - \sqrt{3}}{3} }{1+ \frac{3}{3} } $$

$$ \tan (60°-30°) = \frac{ \frac{2\sqrt{3}}{3} }{2} $$

$$ \tan (60°-30°) = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{2} $$

$$ \tan (60°-30°) = \frac{\sqrt{3}}{3} $$

Il risultato è corretto

$$ \tan (60°-30°) = \tan(30°) = \frac{\sqrt{3}}{3} $$

La dimostrazione

Per dimostrare la formula

$$ \tan(\alpha - \beta) $$

trasformo la sottrazione in un'addizione

$$ \tan(\alpha - \beta) = \tan[\alpha + (- \beta)] $$

Poi applico la formula di addizione della tangente

$$ \tan(\alpha - \beta) = \tan[\alpha + (- \beta)] = \frac{ \tan \alpha + \tan(- \beta) }{ 1 - \tan \alpha \tan(- \beta) } $$

Poiché la tangente è una funzione dispari tan(-β) = -tan(β)

$$ \tan(\alpha - \beta) = \frac{ \tan \alpha - \tan \beta }{ 1 - \tan \alpha [ - \tan(\beta) ] } $$

$$ \tan(\alpha - \beta) = \frac{ \tan \alpha - \tan \beta }{ 1 + \tan \alpha \tan \beta } $$

E questo dimostra la formula iniziale.

E così via