Addizione del coseno
La formula di addizione del coseno è $$ \cos (\alpha+\beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $$
E' sbagliato scrivere
$$ \cos (\alpha+\beta) = \cos \alpha + \cos \beta $$
Un esempio pratico
Considero due angoli a=30° e b=60°
$$ \cos a = \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} $$
$$ \cos b = \cos 60° = \frac{1}{2} $$
Il coseno di a+b non è uguale alla somma del coseno dei due angoli
$$ \cos (a+b) \ne \cos(a) + \cos(b) $$
$$ \cos (30°+60°) \ne \cos(30°) + \cos(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} $$
Nota. Il coseno di 30°+60° è il coseno di 90°. Tutti sanno che il coseno di 90° è uguale a 0. E' quindi un errore molto grave calcolare il coseno della somma di due angoli cos(a+b) come somma del coseno dei rispettivi angoli cos(a)+cos(b).
Calcolo il coseno della somma a+b usando la formula di addizione del coseno
$$ \cos (a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b $$
Sostituisco a=30° e b=60°
$$ \cos (30°+60°) = \cos 30° \cos 60° - \sin 30° \sin 60° $$
Conosco già i valori cos(30°) = √3/2 e cos(60°) = 1/2
$$ \cos (30°+60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} - \sin 30° \sin 60° $$
$$ \cos (30°+60°) = \frac{\sqrt{3}}{4} - \sin 30° \sin 60° $$
I valori del seno di 30° e 60° sono sin(30°) = 1/2 e sin(60°) = √3/2
$$ \cos (30°+60°) = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} $$
$$ \cos (30°+60°) = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} $$
$$ \cos (30°+60°) = 0 $$
Il coseno di 30°+60° è uguale a zero.
Il risultato è corretto.
La dimostrazione
Il coseno della somma di due angoli a e b
$$ \cos(a+b) $$
lo posso scrivere in questa forma equivalente
$$ \cos(a+b) = \cos[a-(-b)] $$
In questo modo posso usare la formula della sottrazione del coseno
$$ \cos(a+b) = \cos(a) \cos(-b) + \sin(a) \sin(-b) $$
Nota. La formula della sottrazione del coseno è la seguente $$ \cos (a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b $$ che ho già analizzato in un altro appunto a cui rimando per la dimostrazione
Il coseno è una funzione pari. Quindi cos(-b)=cos(b).
$$ \cos(a+b) = \cos(a) \cos(b) + \sin(a) \sin(-b) $$
Il seno è una funzione dispari. Quindi sin(-b)=-sin(b).
$$ \cos(a+b) = \cos(a) \cos(b) + \sin(a) [ - \sin(b) ] $$
E ottengo la formula di addizione del coseno che volevo dimostrare.
$$ \cos(a+b) = \cos(a) \cos(b) - \sin(a) \sin(b) $$
E così via.