Addizione del coseno

La formula di addizione del coseno è $$ \cos (\alpha+\beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $$

E' sbagliato scrivere

$$ \cos (\alpha+\beta) = \cos \alpha + \cos \beta $$

Un esempio pratico

Considero due angoli a=30° e b=60°

$$ \cos a = \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

$$ \cos b = \cos 60° = \frac{1}{2} $$

Il coseno di a+b non è uguale alla somma del coseno dei due angoli

$$ \cos (a+b) \ne \cos(a) + \cos(b) $$

$$ \cos (30°+60°) \ne \cos(30°) + \cos(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} $$

Nota. Il coseno di 30°+60° è il coseno di 90°. Tutti sanno che il coseno di 90° è uguale a 0. E' quindi un errore molto grave calcolare il coseno della somma di due angoli cos(a+b) come somma del coseno dei rispettivi angoli cos(a)+cos(b).

Calcolo il coseno della somma a+b usando la formula di addizione del coseno

$$ \cos (a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b $$

Sostituisco a=30° e b=60°

$$ \cos (30°+60°) = \cos 30° \cos 60° - \sin 30° \sin 60° $$

Conosco già i valori cos(30°) = √3/2 e cos(60°) = 1/2

$$ \cos (30°+60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} - \sin 30° \sin 60° $$

$$ \cos (30°+60°) = \frac{\sqrt{3}}{4} - \sin 30° \sin 60° $$

I valori del seno di 30° e 60° sono sin(30°) = 1/2 e sin(60°) = √3/2

$$ \cos (30°+60°) = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} $$

$$ \cos (30°+60°) = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} $$

$$ \cos (30°+60°) = 0 $$

Il coseno di 30°+60° è uguale a zero.

Il risultato è corretto.

La dimostrazione

Il coseno della somma di due angoli a e b

$$ \cos(a+b) $$

lo posso scrivere in questa forma equivalente

$$ \cos(a+b) = \cos[a-(-b)] $$

In questo modo posso usare la formula della sottrazione del coseno

$$ \cos(a+b) = \cos(a) \cos(-b) + \sin(a) \sin(-b) $$

Nota. La formula della sottrazione del coseno è la seguente $$ \cos (a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b $$ che ho già analizzato in un altro appunto a cui rimando per la dimostrazione

Il coseno è una funzione pari. Quindi cos(-b)=cos(b).

$$ \cos(a+b) = \cos(a) \cos(b) + \sin(a) \sin(-b) $$

Il seno è una funzione dispari. Quindi sin(-b)=-sin(b).

$$ \cos(a+b) = \cos(a) \cos(b) + \sin(a) [ - \sin(b) ] $$

E ottengo la formula di addizione del coseno che volevo dimostrare.

$$ \cos(a+b) = \cos(a) \cos(b) - \sin(a) \sin(b) $$

E così via.

 


 

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