Addizione del seno

La formula di addizione del seno è $$ \sin( \alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha $$

E' quindi errato scrivere

$$ \sin( \alpha + \beta ) = \sin \alpha + \sin \beta $$

Un esempio pratico

Considero due angoli a=30° e b=60°

$$ \sin a = \sin 30° = \frac{1}{2} $$

$$ \sin b = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

Il seno di a+b non è uguale alla somma del seno dei due angoli

$$ \sin (a+b) \ne \sin(a) + \sin(b) $$

$$ \sin (30°+60°) \ne \sin(30°) + \sin(60°) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} $$

Nota. Il seno di 30°+60° è il seno di 90°. Tutti sanno che il seno di 90° è uguale a 1. E' quindi un errore molto grave calcolare il seno della somma di due angoli sin(a+b) come somma del seno dei rispettivi angoli sin(a)+sin(b).

Calcolo il seno della somma a+b usando la formula di addizione del seno

$$ \sin (a+b) = \sin a \cos b + \sin b \cos a $$

Sostituisco a=30° e b=60°

$$ \sin (30°+60°) = \sin 30° \cos 60° + \sin 60° \cos 30° $$

Conosco già i valori sin(30°) = 1/2 e sin(60°) = √3/2

$$ \sin (30°+60°) = \frac{1}{2} \cos 60° + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 30° $$

I valori del coseno di 30° e 60° sono cos(30°) = √3/2 e cos(60°) = 1/2

$$ \sin (30°+60°) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} $$

$$ \sin (30°+60°) = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} $$

$$ \sin (30°+60°) = \frac{4}{4} $$

$$ \sin (30°+60°) = 1 $$

Il seno di 30°+60° è uguale a uno.

Il risultato è corretto.

La dimostrazione

Il seno della somma di due angoli a e b

$$ \sin(a+b) $$

Considero l'angolo x=a+b

$$ \sin x $$

Il seno dell'angolo x posso scriverlo in una forma equivalente usando l'angolo associato π/2-x

$$ \sin x = \cos ( \frac{\pi}{2} - x )$$

Sapendo che x=a+b

$$ \sin (a+b) = \cos ( \frac{\pi}{2} - (a+b) )$$

$$ \sin (a+b) = \cos ( \frac{\pi}{2} - a-b )$$

Raggruppo l'argomento del coseno in questo modo

$$ \sin (a+b) = \cos [ ( \frac{\pi}{2} - a) -b ] $$

Poi applico la formula della sottrazione del coseno tra (π/2-a) e b

$$ \sin (a+b) = \cos ( \frac{\pi}{2} - a ) \cos b + \sin b \sin( \frac{\pi}{2} -a ) $$

Sapendo che cos(π/2 - a) = sin(a) sono angoli associati

$$ \sin (a+b) = \sin a \cos b + \sin b \sin( \frac{\pi}{2} -a ) $$

e anche sin(π/2 - a) = cos(a) sono angoli associati

$$ \sin (a+b) = \sin a \cos b + \sin b \cos a $$

Ottengo la formula che volevo dimostrare

E così via.