Formula di addizione della tangente

La formula di addizione della tangente è la seguente $$ \tan(\alpha + \beta) = \frac{ \tan \alpha + \tan \beta }{1- \tan \alpha \tan \beta } $$

E' molto importante ricordarsi che la tangente della somma di due angoli non è uguale alla somma delle tangenti dei rispettivi angoli

$$ \tan(\alpha + \beta) \ne \tan \alpha + \tan \beta $$

Nota. La formula è definita nel dominio della funzione tangente. Pertanto, la somma degli angoli α+β deve essere diversa da ±90°+k·180° dove k è un numero intero qualsiasi. In radianti la condizione è $$ \alpha + \beta \ne \frac{\pi}{2} + k \cdot \pi \ \ \ \ \forall \ k \in Z $$

Un esempio pratico

Prendo in considerazione la tangente di due angoli a=30° e b=60°

$$ \tan a = \tan 30° = \frac{\sqrt{3}}{3} $$

$$ \tan b = \tan 60° = \sqrt{3} $$

La tangente della somma a+b è la tangente di 90°. Quindi non esiste.

$$ \tan (a+b) = \tan(30°+60)= \tan(90°) = \nexists $$

Nota. Se sommo le rispettive tangenti ottengo, invece, un valore finito. $$ \tan a + \tan b = \tan 30° + \tan 60° = \frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}+3 \sqrt{3}}{3} $$ Il che conferma quanto detto precedentemente. La somma delle tangenti di due angoli non è uguale alla tangente della somma degli angoli. $$ a + b \ne \frac{\pi}{2} + k \cdot \pi \ \ \ \ \forall \ k \in Z $$

Per sommare i due angoli uso la formula dell'addizione della tangente

$$ \tan (a+b) = \frac{ \tan a + \tan b }{1-\tan a \tan b} $$

Dove a=30° e b=60°.

$$ \tan (30°+ 60°) = \frac{ \tan 30° + \tan 60° }{1-\tan 30° \tan 60°} $$

$$ \tan (30°+ 60°) = \frac{ \frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3} }{1-\frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}} $$

$$ \tan (30°+ 60°) = \frac{ \frac{\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{3}}{1-\frac{3}{3}} $$

$$ \tan (30°+ 60°) = \frac{ \frac{\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{3}}{1-1} $$

$$ \tan (30°+ 60°) = \frac{ \frac{\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{3}}{0} $$

E' una divisione per zero. Pertanto, la tangente non esiste.

$$ \tan (30°+ 60°) = \nexists $$

Il risultato è corretto.

La dimostrazione

La tangente di un angolo x è uguale al rapporto tra il seno e il coseno dell'angolo x

$$ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $$

Considero l'angolo x = a+b come somma di due angoli a+b

$$ \tan (a+b) = \frac{\sin (a+b)}{\cos (a+b)} $$

Applico la formula dell'addizione del seno al numeratore

$$ \tan (a+b) = \frac{\sin a \cos b + \sin b \cos a}{\cos (a+b)} $$

Applico la formula dell'addizione del coseno al denominatore

$$ \tan (a+b) = \frac{\sin a \cos b + \sin b \cos a}{\cos a \cos b - \sin a \sin b} $$

Divido il numeratore e il denominatore per cos(a)·cos(b)

$$ \tan (a+b) = \frac{ \frac{ \sin a \cos b + \sin b \cos a }{ \cos a \cos b } }{ \frac{ \cos a \cos b - \sin a \sin b }{ \cos a \cos b } } $$

$$ \tan (a+b) = \frac{ \frac{ \sin a \cos b}{ \cos a \cos b } + \frac{\sin b \cos a }{ \cos a \cos b }}{ \frac{ \cos a \cos b }{ \cos a \cos b } - \frac{ \sin a \sin b }{ \cos a \cos b } } $$

$$ \tan (a+b) = \frac{ \frac{ \sin a}{ \cos a } + \frac{\sin b }{ \cos b } }{1 - \frac{ \sin a }{ \cos a } \cdot \frac{ \sin b }{\cos b } } $$

Sapendo che tan(a) = sin(a)/cos(a)

$$ \tan (a+b) = \frac{ \tan a + \frac{\sin b }{ \cos b } }{1 - \tan a \cdot \frac{ \sin b }{\cos b } } $$

e che tan(b) = sin(b)/cos(b)

$$ \tan (a+b) = \frac{ \tan a + \tan b }{1 - \tan a \cdot \tan b } $$

Ho ottenuto la formula che volevo dimostrare.

E così via.