Il limite notevole della radice
Il limite notevole della radice dipende dal valore del radicando.
Se il radicando (a) è maggiore o uguale a 1, il limite per n→∞ è uguale a 1. $$ \lim_{n \rightarrow ∞} \sqrt[n]{a} = 1 $$
Posso scrivere la radice ennesima di un numero anche in questa forma algebrica equivalente
$$ \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} $$
Pertanto, il limite per n tendente a infinito è a0 ossia 1, perché qualsiasi numero elevato a 0 è uguale a 1.
$$ \lim_{n \rightarrow ∞} a^{\frac{1}{n}} = a^0 = 1 $$
Dimostrazione
Se a≥1 allora anche la radice ennesima è maggiore o uguale a 1.
$$ a≥1 ⇒ \sqrt[n]{a} ≥ 1 $$
Quindi
$$ \sqrt[n]{a} - 1 ≥ 0 $$
Considero il primo membro della diseguaglianza come una successione bn a stante
$$ b_n = \sqrt[n]{a} - 1 ≥ 0 $$
Quindi
$$ b_n +1 = \sqrt[n]{a} ≥ 0 $$
elevo tutto alla n
$$ (b_n +1)^n = ( \sqrt[n]{a} )^n ≥ 0 $$
$$ (b_n +1)^n = a ≥ 0 $$
per la diseguaglianza di Bernoulli
$$ a = (b_n +1)^n $$
$$ a = (b_n +1)^n ≥ 1+nb_n $$
$$ a ≥ 1+nb_n $$
$$ \frac{a-1}{n} ≥ b_n $$
Quindi bn≥ 0 e bn≤(a-1)/n
$$ 0≤b_n≤ \frac{a-1}{n} $$
Metto tutto sotto limite
$$ \lim_{n \rightarrow ∞} 0 ≤ \lim_{n \rightarrow ∞} b_n ≤ \lim_{n \rightarrow ∞} \frac{a-1}{n} $$
$$ 0 ≤ \lim_{n \rightarrow ∞} b_n ≤ 0 $$
Quindi, per il teorema dei due carabinieri (teorema del confronto dei limiti)
$$ \lim_{n \rightarrow ∞} b_n = 0 $$
Riprendo la precedente diseguaglianza
$$ b_n +1 = \sqrt[n]{a} ≥ 0 $$
Calcolo i limiti di ogni membro per n→∞
$$ \lim_{n \rightarrow ∞} b_n +1 = \lim_{n \rightarrow ∞} \sqrt[n]{a} ≥ \lim_{n \rightarrow ∞} 0 $$
Sapendo che il limite di bn è uguale a zero .
$$ 1 = \lim_{n \rightarrow ∞} \sqrt[n]{a} ≥ 0 $$
ossia
$$ \lim_{n \rightarrow ∞} \sqrt[n]{a} = 1 $$
Se il radicando (a) è elevato a m, il limite per n→∞ è uguale a 1. $$ \lim_{n \rightarrow ∞} \sqrt[n]{a^m} = 1 $$
Dimostrazione
Se assegno m=1/2 il radicando diventa √a
$$ b_n = \sqrt[n]{a^{1/2}} - 1 ≥ 0 $$
$$ b_n = \sqrt[n]{\sqrt{a}} - 1 ≥ 0 $$
Quindi
$$ b_n +1 = \sqrt[n]{\sqrt{a}} ≥ 0 $$
Elevo entrambi i membri della diseguaglianza a n
$$ (b_n +1)^n =( \sqrt[n]{\sqrt{a}} )^n ≥ 0 $$
$$ (b_n +1)^n = \sqrt{a} ≥ 0 $$
per la diseguaglianza di Bernoulli
$$ \sqrt{a} = (b_n +1)^n $$
$$ \sqrt{a} = (b_n +1)^n ≥ 1+nb_n $$
$$ \sqrt{a} ≥ 1+nb_n $$
$$ \frac{\sqrt{a}-1}{n} ≥ b_n $$
Quindi bn≥ 0 e bn≤(a-1)/n
$$ 0≤b_n≤ \frac{\sqrt{a}-1}{n} $$
Metto il tutto sotto limite
$$ \lim_{n \rightarrow ∞} 0 ≤ \lim_{n \rightarrow ∞} b_n ≤ \lim_{n \rightarrow ∞} \frac{\sqrt{a}-1}{n} $$
$$ 0 ≤ \lim_{n \rightarrow ∞} b_n ≤ 0 $$
Secondo il teorema dei due carabinieri anche il limite di bn è zero.
$$ \lim_{n \rightarrow ∞} b_n = 0 $$
Quindi, riprendendo la precedente diseguaglianza
$$ (b_n +1) = \sqrt[n]{ \sqrt{a} } ≥ 0 $$
e calcolando i limiti di ogni membro per n→∞
$$ \lim_{n \rightarrow ∞} (b_n +1) = \lim_{n \rightarrow ∞} \sqrt[n]{ \sqrt{a} } ≥ \lim_{n \rightarrow ∞} 0 $$
Sapendo che il limite di bn è uguale a zero .
$$ 1 = \lim_{n \rightarrow ∞} \sqrt[n]{ \sqrt{a} } ≥ 0 $$
ossia
$$ \lim_{n \rightarrow ∞} \sqrt[n]{ \sqrt{a} } = 1 $$
E così via
