Sistemi di equazioni simmetrici

Cos'è un sistema di equazioni simmetrico

Un sistema di equazioni è detto sistema di equazioni simmetrico quando non cambia se scambio fra loro le incognite.

Le soluzioni di un sistema simmetrico sono dette soluzioni simmetriche.

Se la coppia (a;b) è la soluzione di un sistema simmetrico, allora la coppia (b;a) è la soluzione del sistema ottenuto scambiando le incognite tra loro.

Un esempio pratico

Questo sistema è simmetrico

$$ \begin{cases} x+y = 1 \\ \\ xy = -2 \end{cases} $$

perché se scambio la x con la y e viceversa ottengo lo stesso sistema

$$ \begin{cases} y+x = 1 \\ \\ yx = -2 \end{cases} $$

Nota. Scambiando le lettere delle incognite non cambia la soluzione del sistema. E' sempre la stessa.

Come trovare le soluzioni simmetriche

Per trovare le soluzioni simmetriche applico il metodo della sostituzione.

$$ \begin{cases} x= 1-y \\ \\ (1-y) \cdot y = -2 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} x= 1-y \\ \\ y-y^2 = -2 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} x= 1-y \\ \\ -y^2+y+2 = 0 \end{cases} $$

La seconda equazione è un'equazione di secondo grado.

$$ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$

$$ y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2-4(-1)(2)}}{2(-1)} $$

$$ y = \frac{-1 \pm \sqrt{1+8}}{-2} $$

$$ y = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{-2} $$

$$ y = \frac{-1 \pm 3}{-2} $$

$$ y = \begin{cases} \frac{-1 - 3}{-2} = 2 \\ \\ \frac{-1+3}{-2} = - 1 \end{cases} $$

Pertanto, le radici di y sono y=2 e y=-1

Sostituisco le radici di y nella prima equazione del sistema per ottenere la radici della x

$$ x= 1-y $$

$$ x = \begin{cases} se \ y=2 \ \ \ x = 1-2 = -1 \\ \\ se \ y =-1 \ \ \ x =1-(-1) = 2 \end{cases} $$

In conclusione le soluzioni del sistema sono le coppie (x;y)=(-1;2) e (x;y)=(2,-1)

Un metodo di risoluzione alternativo

Considero x e y come le radici di un'equazione di 2° grado

Data la somma (s) e il prodotto (p) di due numeri, l'equazione di secondo grado che ha per radici i due numeri è $$ t^2-st+p = 0 $$

Nota. Qualsiasi equazione di 2° grado con discriminante non negativo può essere scritta a partire dalle sue radici. Vedi approfondimento.

Nel sistema simmetrico s=1 e p=-2

$$ \begin{cases} x+y = 1 \\ \\ xy = -2 \end{cases} $$

Per trovare le radici del sistema posso risolvere l'equazione rispetto alla variabile ausiliaria t con s=1 e p=-2

$$ t^2-st+p = 0 $$

$$ t^2-(1)t+(-2) = 0 $$

$$ t^2-t-2 = 0 $$

$$ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$

$$ t = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4(1)(-2)}}{2(1)} $$

$$ t = \frac{1 \pm \sqrt{1+8}}{2} $$

$$ t = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} $$

$$ t = \frac{1 \pm 3}{2} $$

$$ t = \begin{cases} \frac{1 - 3}{2} = -1 \\ \\ \frac{1 + 3}{2} = 2 \\ \end{cases} $$

Ho così trovato la soluzione del sistema iniziale

$$ (x;y) = (-1,2) $$

Essendo un sistema simmetrico, un'altra soluzione simmetrica alla precedente è la seguente

$$ (x;y) = (2,-1) $$

In conclusione, le soluzioni del sistema simmetrico iniziale sono (x;y)=(-1,2) e (x;y)=(2;-1)

E così via.