Come verificare se esiste la tangente verticale in un punto della funzione
- In un punto x0 di una funzione f(x) esiste una tangente verticale se
- la funzione f(x) è continua in x0
- esiste un limite di f(x) tendente a x0 uguale a +∞ o -∞
$$ \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = +∞ \: oppure \: -∞ $$
Se la funzione non è continua, nel punto non può esserci una tangente.
Se la funzione è continua ma non esiste il limite tendente a x0, allora nel punto non esiste una retta tangente verticale.
Nota. Se la funzione è continua ed esiste il limite tendente a x0 ma non è uguale a +∞ o -∞, allora nel punto c'è una tangente ma non è verticale.
Esempi
Esempio 1
Ho la funzione
$$ f(x) = \frac{1}{x} $$
Voglio verificare se c'è una retta tangente alla funzione nel punto x=0.
Tuttavia, nel punto x=0 la funzione non è continua.
Quindi, non esistendo un punto, non può esistere nemmeno la retta tangente.
Esempio 2
Ho la funzione
$$ f(x) = x^{1/3} $$
Voglio capire se nel punto x=0 c'è una retta tangente.
In x=0 la funzione f(x) è continua.
Posso quindi calcolare il limite della funzione tendente al punto x0 da destra e da sinistra.
$$ lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{(x_0+h)^{1/3} - x_0^{1/3}}{h} $$
$$ lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{(0+h)^{1/3} - 0^{1/3}}{h} = $$
$$ lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{h^{1/3}}{h} = $$
$$ lim_{h \rightarrow 0^+} h^{1/3} \cdot h^{-1} = $$
$$ lim_{h \rightarrow 0^+} h^{2/3} $$
$$ lim_{h \rightarrow 0^+} \sqrt[3]{h^2} $$
Il limite destro in x0=0 è +∞.
$$ lim_{h \rightarrow 0^+} h^{2/3} = + ∞ $$
Anche il limite sinistro in x0=0- è uguale a +∞.
$$ lim_{h \rightarrow 0-+} h^{2/3} = + ∞ $$
Pertanto, in x=0 esiste un limite ed è uguale a +∞.
Nel punto x0=0 c'è una retta tangente verticale.
Esempio 3
Ho la funzione
$$ f(x) = x^{2/3} $$
Devo verificare se in x0=0 esiste una retta tangente.
In x0=0 la funzione f(x) è continua.
Quindi, posso calcolare il limite di f(x) tendente a x0.
$$ lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{(x_0+h)^{2/3} - x_0^{2/3}}{h} $$
$$ lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{(0+h)^{2/3} - 0^{2/3}}{h} = $$
$$ lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{h^{2/3}}{h} = $$
$$ lim_{h \rightarrow 0^+} h^{2/3} \cdot h^{-1} = $$
$$ lim_{h \rightarrow 0^+} h^{-1/3} $$
Il limite destro in x0=0+ è più infinito.
$$ lim_{h \rightarrow 0^+} h^{2/3} = + ∞ $$
Mentre il limite sinistro in x0=0- è meno infinito.
$$ lim_{h \rightarrow 0^-} h^{2/3} = - ∞ $$
Se il limite destro e sinistro hanno valori diversi, nel punto x0=0 non esiste il limite.
Quindi, nel punto x0=0 della funzione f(x) non c'è nessuna retta tangente.
E così via.
