Il determinante della matrice

In algebra lineare il determinante della matrice è un numero che descrive le proprietà algebriche e geometriche di una matrice quadrata. Il determinante è indicato con le notazioni det(A) o |A|.

Nota. Il determinante può essere calcolato soltanto nelle matrici quadrate, ossia nelle matrici che hanno un eguale numero di righe e colonne (m=n).

Come calcolare il determinante della matrice

Per il calcolo del determinante della matrice si possono usare diversi metodi.

Matrici quadrate di ordine 1

Nelle matrici quadrate di ordine 1, quelle composte da un solo elemento, il determinante della matrice è uguale al valore dell'elemento a11.

il calcolo del determinante in una matrice quadrata di ordine uno

Esempio. Una matrice A di ordine 1 ha un solo elemento a11=5. In questo caso il determinante det(A) è uguale a 5.
il determinante della matrice det(A)=5

Matrici quadrate di ordine 2

Nelle matrici quadrate di ordine 2, il determinante è uguale al prodotto degli elementi della diagonale principale ( a11·a22) meno il prodotto degli elementi nella diagonale secondaria ( a21·a12).

il calcolo della matrice quadrata di ordine due

Esempio. La seguente matrice A di ordine 2 è composta da due righe e due colonne. Il determinante det(A) è uguale a -2.
un esempio di calcolo del determinante in una matrice di ordine 2

La regola di Sarrus

La regola di Sarrus calcola il determinante nelle matrici quadrate di ordine 3, quelle con tre righe e tre colonne (m=n=3).

Data una matrice di ordine 3.

una matrice di ordine 3

si affiancano sulla destra le prime due colonne

il procedimento di calcolo del determinante di Sarrus

Quindi si sommano i prodotti delle diagonali che vanno da in alto a sinistra in basso a destra

la somma dei prodotti delle diagonali

Poi si sottraggono i prodotti delle diagonali che vanno in alto a destra in basso a sinistra.

La somma algebrica dei prodotti è il determinante della matrice.

il determinante calcolato con la regola di Sarrus

La regola di Sarrus in sintesi
La regola di Sarrus

Lo sviluppo di Laplace

Uno dei metodi generali più usati nel calcolo del determinante è lo sviluppo di Laplace rispetto alla colonna j.

Come funziona lo sviluppo di Laplace

Lo sviluppo di Laplace trasforma il calcolo di un determinante di ordine n al calcolo di n determinanti di ordine n-1.

  1. Si sceglie una colonna j arbitraria della matrice.

    Quale colonna scegliere? Qualsiasi colonna della matrice va bene. E' però preferibile scegliere quella con più zeri, in questo modo si riducono i passaggi algebrici necessari per calcolare il determinante.

  2. Una volta fissata la colonna j, si sommano i determinanti delle sottomatrici minori A(ij) ottenute togliendo la riga i e la colonna j dalla matrice A secondo la seguente formula.
    il calcolo del determinante

Esempio. Per calcolare il determinante della seguente matrice A di ordine 3 con lo sviluppo di Laplace, fisso la colonna j=1 e calcolo la sommatoria algebrica dei determinanti dei minori. Il determinante det(A) è uguale a zero.
il determinante della matrice con Laplace

Lo sviluppo di Laplace per riga

Lo sviluppo di Laplace funziona anche selezionando una riga della matrice anziché una colonna.

La formula è leggermente diversa perché in questo caso bisogna far scorrere le colonne j da 1 a n.

la formula per calcolare il determinante della matrice con lo sviluppo di Laplace per righe

Il risultato finale è sempre lo stesso.

I limiti dello sviluppo di Laplace. Il calcolo del determinante di una matrice con lo sviluppo di Laplace è poco efficiente nelle matrici quadrate di ordine elevato. Se la matrice quadrata è molto grande, è consigliabile utilizzare altri metodi più efficienti come il metodo di eliminazione di Gauss.

Il metodo di eliminazione di Gauss

Il determinante di una matrice quadrata può essere calcolato anche con il metodo di eliminazione di Gauss.

Si possono utilizzare le mosse di Gauss per trasformare la matrice in una forma a scalini per renderla triangolare superiore.

esempio di matrice quadrata a scalini

Per calcolare il determinante non occorre trasformare i pivot uguali a 1, perché nelle matrici triangolari il determinante è uguale al prodotto degli elementi della diagonale principale.

Bisogna però fare attenzione ai cambi di segno.

gli effetti delle mosse di Gauss sul determinante

Secondo le proprietà del determinante, quando si scambia la posizione di due righe della matrice (Rx⇔Ry) il determinante cambia segno (-1·det).

Inoltre, il prodotto di una riga per uno scalare (k·Rx) moltiplica il determinante per lo scalare (k·det).

Il segno del determinante, invece, non varia (det) quando si somma una riga con il multiplo di un'altra riga della matrice (Rx+k·Ry).

Esempio. Per calcolare il determinante della matrice A utilizzo il metodo di eliminazione di Gauss.
un esempio di applicazione del metodo di Gauss per calcolare il determinante

Quali sono i vantaggi del metodo di Gauss?

Quando le matrici sono molto grandi, il metodo di eliminazione di Gauss calcola il determinante molto più rapidamente rispetto allo sviluppo di Laplace.

Il calcolo del determinante online

Questo strumento permette di calcolare online il determinante di una matrice quadrata.



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FAQ

  • Come calcolare il determinante con python
    Nel linguaggio python c'è un'apposita funzione per calcolare il determinante di una matrice. E' la funzione linalg.det della libreria numpy.
knowledge base

Il determinante della matrice

  1. Come calcolare il determinante
  2. Le proprietà del determinante

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