L'operatore lineare diagonalizzabile
Un operatore lineare f è detto diagonalizzabile, se la sua matrice rappresentativa rispetto a una qualunque base dello spazio vettoriale V è una matrice diagonalizzabile.
Cos'è una matrice diagonalizzabile
Una matrice diagonalizzabile è una matrice quadrata M simile a una matrice diagonale D.
M−1AM=D
Una matrice è simile a un'altra se M-1AM è uguale alla matrice D.
Per un approfondimento sul concetto di matrici simili.
Come riconoscere le matrici diagonalizzabili
Le matrici diagonalizzabili hanno lo stesso polinomio caratteristico pf. pf(λ):=det(A−λI(n))
Dove A è la matrice rappresentativa dell'operatore lineare f:V→V rispetto a una qualunque base dello spazio vettoriale V.
Il polinomio caratteristico delle due matrici è uguale, qualunque sia la base prescelta.
Dimostrazione
Il polinomio caratteristico della matrice B è il seguente
pB(λ)=det(B−λ·I)
Ipotizzo che A e B siano matrici simili
B=M−1AM
Posso riscrivere la prima formula nella seguente forma
pB(λ)=det(B−λI)pB(λ)=det(M−1AM−λ(M−1IM))pB(λ)=det(M−1(A−λI)M)pB(λ)=det(M−1)⋅det(A−λI)⋅det(M)pB(λ)=1det(M)⋅det(A−λI)⋅det(M)pB(λ)=det(A−λI)pB(λ)=pA(λ)
Ho così dimostrato l'uguaglianza dei due polinomi caratteristici.
Come verificare se una matrice o un operatore lineare diagonalizzabile
La diagonalizzabilità di una matrice e dell'operatore lineare (a cui è associata la matrice) può essere riconosciuta anche da alcune caratteristiche.
- Un operatore lineare è diagonalizzabile se la somma delle molteplicità algebriche (ma) degli autovalori è uguale alla dimensione n dello spazio vettoriale V.
∑λ∈σfma(λ)=n - Un operatore lineare è diagonalizzabile se la somma delle molteplicità geometriche (mg) degli autovalori è uguale alla dimensione n dello spazio vettoriale V.
∑λ∈σfmg(λ)=n - Un operatore lineare è diagonalizzabile se la molteplicità geometrica di ogni autovalore è uguale alla molteplicità algebrica dello stesso.
ma(λ)=mb(λ)∀λ∈σf - Un operatore lineare è diagonalizzabile se esiste una base dello spazio vettoriale V composto dagli autovettori dell'operatore lineare.
Le precedenti condizioni sono equivalenti.
Se l'operatore lineare è diagonalizzabile, allora la matrice diagonale D ha la diagonale principale composta dagli autovalori λ.
M−1AM=D
La matrice invertibile M è invece composta dagli autovettori linearmente indipendenti posti in colonna.
Nota. Spesso si utilizzano gli autovettori linearmente indipendenti che compongono le basi degli autospazi E(λ). In ogni caso, la matrice invertibile M e la matrice diagonale D non sono uniche. Dipendono dalla base considerata e dall'ordine di presentazione degli elementi.
Un esempio pratico
Ho un operatore lineare nello spazio vettoriale V=R3.
Quindi, la dimensione dello spazio vettoriale è n=3
f={x1+2x+x32x2x1−2x2+x3
Usando la base canonica come riferimento, l'applicazione lineare ha la seguente matrice associata.
AfBB=(1210201−21)
Per capire se l'operatore lineare f è diagonalizzabile, devo capire se la matrice associata A è diagonalizzabile.
M−1AM=D
Quindi, calcolo il polinomio caratteristico pf(λ) della matrice A.
pf(λ)=det[A−λ⋅Id]
pf(λ)=det[(1210201−21)−(λ000λ000λ)]
pf(λ)=det[(1−λ2102−λ01−21−λ)]
pf(λ)=(1−λ)(2−λ)(1−λ)−(2−λ)
pf(λ)=(1−λ)2(2−λ)−(2−λ)
pf(λ)=(2−λ)[(1−λ)2−1]
pf(λ)=(2−λ)[1−2λ+λ2−1]
pf(λ)=(2−λ)[−2λ+λ2]
pf(λ)=(2−λ)[λ(λ−2)]
Il polinomio caratteristico si annulla Pf=0 in due circostanze
pf(λ)=(2−λ)[λ(λ−2)]=0con{λ=0λ=2
Quindi, la matrice A ha due autovalori.
λ1=0λ2=2
Le molteplicità algebriche degli autovalori sono le seguenti:
ma(λ1)=1ma(λ2)=2
Perché λ1 annulla il polinomio caratteristico in una sola circostanza mentre λ2 lo annulla in due casi.
Poi calcolo la molteplicità geometrica degli autovalori.
mg(λ1)=n−r[A−λ1]=3−r[A−0]=3−r[(1210201−21)]=3−2=1
mg(λ2)=n−r[A−λ2]=3−r[A−2]=3−r[(1−22102−201−21−2)]=
mg(λ2)=3−r[(−1210001−2−1)]=3−1=2
La matrice A è diagonalizzabile perché
ma(λ1)+ma(λ2)=1+2=3=n
mg(λ1)+mg(λ2)=1+2=3=n
ma(λ1)=mg(λ1)=1
ma(λ2)=mg(λ2)=2
Viene rispettata anche la condizione seguente:
1≤mg(λ)≤ma(λ)≤n
Pertanto, anche l'operatore lineare f è diagonalizzabile.
Come trovare la matrice diagonale
Ogni autovalore genera un autospazio E(λ)
E(λ1)={v1}E(λ2)={v2,v3}
dove i vettori del nucleo dell'autospazio formano una base e sono i seguenti
v1=(1,0,−1)v2=(1,0,1)v3=(2,1,0)
Usando i vettori degli autospazi come colonne della matrice ottengo la matrice diagonale.
M=(112001−110)
Verifica
Per una verifica provo a calcolare se M-1AM = D.
M−1AM=(12−1−1212−112010)(1210201−21)⋅(112001−110)
M−1AM=(0001−21020)⋅(112001−110)
M−1AM=(000020002)
M−1AM=(2002)=D
Il prodotto è uguale a una matrice diagonale.
Inoltre, come si può notare, la diagonale principale della matrice è composta dagli autovalori (λ).
La verifica conferma il risultato dell'esercizio.
Corollari e altre proprietà utili
Se lo spazio vettoriale ha dimensione finita n e l'operatore lineare f ha n autovalori distinti tra loro, allora l'operatore lineare è diagonalizzabile.
In questo caso non c'è bisogno di svolgere nessun calcolo.
Dimostrazione
Se ci sono n autovalori, allora ogni autovalore deve avere una molteplicità algebrica uguale a 1. Non superiore.
ma(λ)=1∀λ
Essendo n autovalori λ, la loro somma eguaglia la dimensione n dello spazio vettoriale V
∑λma(λ)=n
Anche le molteplicità geometriche devono necessariamente essere uguale a uno perché non possono essere inferiori a 1, né superiori alle relative molteplicità algebriche.
mg(λ)=1∀λ
La somma delle n molteplicità geometriche eguaglia la dimensione n dello spazio vettoriale V.
∑λmg(λ)=n
Le condizioni della diagonalizzabilità sono soddisfatte.
