L'operatore lineare diagonalizzabile
Un operatore lineare f è detto diagonalizzabile, se la sua matrice rappresentativa rispetto a una qualunque base dello spazio vettoriale V è una matrice diagonalizzabile.
Cos'è una matrice diagonalizzabile
Una matrice diagonalizzabile è una matrice quadrata M simile a una matrice diagonale D.
$$ M^{-1}AM = D $$
Una matrice è simile a un'altra se M-1AM è uguale alla matrice D.
Per un approfondimento sul concetto di matrici simili.
Come riconoscere le matrici diagonalizzabili
Le matrici diagonalizzabili hanno lo stesso polinomio caratteristico pf. $$ p_f(λ) := det(A-λI_{(n)})$$
Dove A è la matrice rappresentativa dell'operatore lineare f:V→V rispetto a una qualunque base dello spazio vettoriale V.
Il polinomio caratteristico delle due matrici è uguale, qualunque sia la base prescelta.
Dimostrazione
Il polinomio caratteristico della matrice B è il seguente
$$ p_B(λ) = det(B - λ·I) $$
Ipotizzo che A e B siano matrici simili
$$ B = M^{-1}AM $$
Posso riscrivere la prima formula nella seguente forma
$$ p_B(λ) = det(B-λ I) \\
p_B(λ) = det(M^{-1}AM-λ(M^{-1}IM)) \\
p_B(λ) = det(M^{-1}(A-λI)M) \\
p_B(λ) = det(M^{-1}) \cdot det(A-λI) \cdot det(M) \\
p_B(λ) = \frac{1}{det(M)} \cdot det(A-λI) \cdot det(M) \\
p_B(λ) = det(A-λI) \\
p_B(λ) = p_A(λ) $$
Ho così dimostrato l'uguaglianza dei due polinomi caratteristici.
Come verificare se una matrice o un operatore lineare diagonalizzabile
La diagonalizzabilità di una matrice e dell'operatore lineare (a cui è associata la matrice) può essere riconosciuta anche da alcune caratteristiche.
- Un operatore lineare è diagonalizzabile se la somma delle molteplicità algebriche (ma) degli autovalori è uguale alla dimensione n dello spazio vettoriale V.
$$ \sum_{λ \in σ_f } { m_a(λ) = n} $$ - Un operatore lineare è diagonalizzabile se la somma delle molteplicità geometriche (mg) degli autovalori è uguale alla dimensione n dello spazio vettoriale V.
$$ \sum_{λ \in σ_f } { m_g(λ) = n} $$ - Un operatore lineare è diagonalizzabile se la molteplicità geometrica di ogni autovalore è uguale alla molteplicità algebrica dello stesso.
$$ m_a(λ) = m_b(λ) \:\:\:\: \forall \:\: λ \in σ_f $$ - Un operatore lineare è diagonalizzabile se esiste una base dello spazio vettoriale V composto dagli autovettori dell'operatore lineare.
Le precedenti condizioni sono equivalenti.
Se l'operatore lineare è diagonalizzabile, allora la matrice diagonale D ha la diagonale principale composta dagli autovalori λ.
$$ M^{-1}AM = D $$
La matrice invertibile M è invece composta dagli autovettori linearmente indipendenti posti in colonna.
Nota. Spesso si utilizzano gli autovettori linearmente indipendenti che compongono le basi degli autospazi E(λ). In ogni caso, la matrice invertibile M e la matrice diagonale D non sono uniche. Dipendono dalla base considerata e dall'ordine di presentazione degli elementi.
Un esempio pratico
Ho un operatore lineare nello spazio vettoriale V=R3.
Quindi, la dimensione dello spazio vettoriale è n=3
$$ f = \begin{cases} x_1+2x+x_3 \\ 2x_2 \\ x_1-2x_2+x_3 \end{cases} $$
Usando la base canonica come riferimento, l'applicazione lineare ha la seguente matrice associata.
$$ A_{fBB} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix} $$
Per capire se l'operatore lineare f è diagonalizzabile, devo capire se la matrice associata A è diagonalizzabile.
$$ M^{-1}AM = D $$
Quindi, calcolo il polinomio caratteristico pf(λ) della matrice A.
$$ p_f(λ) = det [ A - λ \cdot Id ] $$
$$ p_f(λ) = det [ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} λ & 0 & 0 \\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} ] $$
$$ p_f(λ) = det [ \begin{pmatrix} 1-λ & 2 & 1 \\ 0 & 2-λ & 0 \\ 1 & -2 & 1-λ \end{pmatrix} ] $$
$$ p_f(λ) = ( 1-λ ) ( 2-λ ) ( 1-λ ) - (2-λ) $$
$$ p_f(λ) = ( 1-λ )^2 ( 2-λ ) - (2-λ) $$
$$ p_f(λ) = (2-λ) [ ( 1-λ )^2 - 1] $$
$$ p_f(λ) = (2-λ) [ 1-2λ+λ^2 - 1] $$
$$ p_f(λ) = (2-λ) [ -2λ+λ^2 ] $$
$$ p_f(λ) = (2-λ) [ λ (λ-2) ] $$
Il polinomio caratteristico si annulla Pf=0 in due circostanze
$$ p_f(λ) = (2-λ) [ λ (λ-2) ] =0 \:\:\: con \:\:\: \begin{cases} λ = 0 \\ λ = 2 \end{cases} $$
Quindi, la matrice A ha due autovalori.
$$ λ_1 = 0 \\ λ_2 = 2 $$
Le molteplicità algebriche degli autovalori sono le seguenti:
$$ m_a(λ_1) = 1 \\ m_a(λ_2) = 2 $$
Perché λ1 annulla il polinomio caratteristico in una sola circostanza mentre λ2 lo annulla in due casi.
Poi calcolo la molteplicità geometrica degli autovalori.
$$ m_g(λ_1) = n - r [ A - λ_1] = 3 - r [ A - 0] = 3 - r [ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix} ] = 3-2 = 1 $$
$$ m_g(λ_2) = n - r [ A - λ_2] = 3 - r [ A - 2] = 3 - r [ \begin{pmatrix} 1-2 & 2 & 1 \\ 0 & 2-2 & 0 \\ 1 & -2 & 1-2 \end{pmatrix} ] =$$
$$ m_g(λ_2) = 3 - r [ \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & -1 \end{pmatrix} ] = 3-1 = 2 $$
La matrice A è diagonalizzabile perché
$$ m_a(λ_1)+m_a(λ_2) = 1+2 = 3 = n $$
$$ m_g(λ_1)+m_g(λ_2) = 1+2 = 3 = n $$
$$ m_a(λ_1) = m_g(λ_1) = 1 $$
$$ m_a(λ_2) = m_g(λ_2) = 2 $$
Viene rispettata anche la condizione seguente:
$$ 1 \le m_g(λ) \le m_a(λ) \le n$$
Pertanto, anche l'operatore lineare f è diagonalizzabile.
Come trovare la matrice diagonale
Ogni autovalore genera un autospazio E(λ)
$$ E(λ_1) = \{ v_1 \} \\ E(λ_2) = \{ v_2, v_3 \} $$
dove i vettori del nucleo dell'autospazio formano una base e sono i seguenti
$$ v_1 = ( 1, 0, -1 ) \\
v_2 = ( 1, 0, 1 ) \\
v_3 = ( 2, 1, 0 ) $$
Usando i vettori degli autospazi come colonne della matrice ottengo la matrice diagonale.
$$ M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$
Verifica
Per una verifica provo a calcolare se M-1AM = D.
$$ M^{-1}AM = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -1 & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$
$$ M^{-1}AM = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$
$$ M^{-1}AM = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} $$
$$ M^{-1}AM = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = D $$
Il prodotto è uguale a una matrice diagonale.
Inoltre, come si può notare, la diagonale principale della matrice è composta dagli autovalori (λ).
La verifica conferma il risultato dell'esercizio.
Corollari e altre proprietà utili
Se lo spazio vettoriale ha dimensione finita n e l'operatore lineare f ha n autovalori distinti tra loro, allora l'operatore lineare è diagonalizzabile.
In questo caso non c'è bisogno di svolgere nessun calcolo.
Dimostrazione
Se ci sono n autovalori, allora ogni autovalore deve avere una molteplicità algebrica uguale a 1. Non superiore.
$$ m_a(λ)=1 \:\:\: \forall \:\: λ $$
Essendo n autovalori λ, la loro somma eguaglia la dimensione n dello spazio vettoriale V
$$ \sum_{λ} m_a(λ) = n $$
Anche le molteplicità geometriche devono necessariamente essere uguale a uno perché non possono essere inferiori a 1, né superiori alle relative molteplicità algebriche.
$$ m_g(λ)=1 \:\:\: \forall \:\: λ $$
La somma delle n molteplicità geometriche eguaglia la dimensione n dello spazio vettoriale V.
$$ \sum_{λ} m_g(λ) = n $$
Le condizioni della diagonalizzabilità sono soddisfatte.
