Esercizi sui limiti delle successioni
Alcuni esercizi svolti sui limiti delle successioni
Esercizio 1
In questo esercizio devo dimostrare che il limite della successione tende a 1.
limn→∞n2n+5=1
Secondo il teorema della convergenza una successione è convergente se
|an−l|<ε
Dove ε è un qualsiasi numero reale positivo ossia ε>0.
Essendo an una successione anche n>0.
Per verificare il limite sostituisco an con la successione e l con 1
|n2n+5−1|<ε
Poi riduco l'espressione algebrica in una forma più semplice
|n−(2n+5)2n+5|<ε
|−n−5)2n+5|<ε
Elimino il segno negativo al numeratore e tolgo il modulo
n+5)2n+5<ε
Svolgo qualche ulteriore semplificazione algebrica
n+5<ε(2n+5)
n+5<2nε+5ε)
n−2nε<5ε−5
n(1−2ε)<5(ε−1)
La diseguaglianza non è ulteriormente riducibile
Ora devo controllare se la diseguaglianza è soddisfatta per qualsiasi ε>0
- Se ε>1 la diseguaglianza è soddisfatta perché il membro di sinistra n(1-2ε) è negativo mentre quello di destra 5(ε-1) è positivo.
- Se ε=1 la diseguaglianza è ancora soddisfatta perché n(1-2ε)<0 per qualsiasi valore di n>0
- Se ε<1 la diseguaglianza non è sempre soddisfatta. In particolar modo per valori molto piccoli non è soddisfatta. Ad esempio, per e=0.1 il membro di sinistra n(1-2ε) è positivo mentre quello di destra 5(ε-1) è negativo.
Pertanto, la successione non può convergere a 1.
E così via.
Nota. La successione è sempre convergente ma converge a 1/2. Quindi, il limite per n che tende a infinito è uguale a 1/2. limn→∞n2n+5=12 Ripeto lo stesso procedimento per verificare se è vero. |an−l|<ε |n2n+5−12|<ε |2n−(2n+5)2(2n+5)|<ε |−52(2n+5)|<ε 52(2n+5)<ε 52ε<2n+5 52ε−5<2n 54ε−52<n Questa diseguaglianza è soddisfatta per qualsiasi valore ε>0. Quindi, la successione converge a 1/2.
