Esercizi sui limiti delle successioni
Alcuni esercizi svolti sui limiti delle successioni
Esercizio 1
In questo esercizio devo dimostrare che il limite della successione tende a 1.
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{2n+5} = 1 $$
Secondo il teorema della convergenza una successione è convergente se
$$ |a_n - l | < ε $$
Dove ε è un qualsiasi numero reale positivo ossia ε>0.
Essendo an una successione anche n>0.
Per verificare il limite sostituisco an con la successione e l con 1
$$ |\frac{n}{2n+5} - 1 | < ε $$
Poi riduco l'espressione algebrica in una forma più semplice
$$ |\frac{n-(2n+5)}{2n+5} | < ε $$
$$ |\frac{-n-5)}{2n+5} | < ε $$
Elimino il segno negativo al numeratore e tolgo il modulo
$$ \frac{n+5)}{2n+5} < ε $$
Svolgo qualche ulteriore semplificazione algebrica
$$ n+5 < ε (2n+5) $$
$$ n+5 < 2nε+5ε) $$
$$ n-2nε < 5ε-5 $$
$$ n(1-2ε) < 5(ε-1) $$
La diseguaglianza non è ulteriormente riducibile
Ora devo controllare se la diseguaglianza è soddisfatta per qualsiasi ε>0
- Se ε>1 la diseguaglianza è soddisfatta perché il membro di sinistra n(1-2ε) è negativo mentre quello di destra 5(ε-1) è positivo.
- Se ε=1 la diseguaglianza è ancora soddisfatta perché n(1-2ε)<0 per qualsiasi valore di n>0
- Se ε<1 la diseguaglianza non è sempre soddisfatta. In particolar modo per valori molto piccoli non è soddisfatta. Ad esempio, per e=0.1 il membro di sinistra n(1-2ε) è positivo mentre quello di destra 5(ε-1) è negativo.
Pertanto, la successione non può convergere a 1.
E così via.
Nota. La successione è sempre convergente ma converge a 1/2. Quindi, il limite per n che tende a infinito è uguale a 1/2. $$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{2n+5} = \frac{1}{2} $$ Ripeto lo stesso procedimento per verificare se è vero. $$ |a_n - l | < ε $$ $$ |\frac{n}{2n+5} - \frac{1}{2} | < ε $$ $$ |\frac{2n-(2n+5)}{2(2n+5)} | < ε $$ $$ |\frac{-5}{2(2n+5)} | < ε $$ $$ \frac{5}{2(2n+5)} < ε $$ $$ \frac{5}{2ε} < 2n+5 $$ $$ \frac{5}{2ε} - 5 < 2n $$ $$ \frac{5}{4ε} -\frac{5}{2} < n $$ Questa diseguaglianza è soddisfatta per qualsiasi valore ε>0. Quindi, la successione converge a 1/2.
