Teorema di Binet

Cosa dice il teorema di Binet

Il determinante del prodotto di due matrici quadrate det(AB) è uguale al prodotto dei determinanti delle matrici. $$ det(A \cdot B) = det(A) \cdot det(B) $$

Ad esempio, considero due matrici quadrate dello stesso ordine

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$

$$ B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 6 \end{pmatrix} $$

Il prodotto delle due matrici è

$$ AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 6 \end{pmatrix} $$

$$ AB = \begin{pmatrix} 1 \cdot & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 6 \end{pmatrix} $$

$$ AB = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 & 1 \cdot 4 + 2 \cdot 6 \\ 3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 & 3 \cdot 4 + 4 \cdot 6 \end{pmatrix} $$

$$ AB = \begin{pmatrix} 2 + 2 & 4 + 12 \\ 6 + 4 & 12 + 24 \end{pmatrix} $$

$$ AB = \begin{pmatrix} 4 & 16 \\ 10 & 36 \end{pmatrix} $$

Il determinante della matrice prodotto è

$$ \det(AB) = \begin{vmatrix} 4 & 16 \\ 10 & 36 \end{vmatrix} = 4 \cdot 36 - 16 \cdot 10 = 144 - 160 = -16 $$

I determinanti delle matrici A e B sono

$$ \det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2 $$

$$ \det(B) = \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 6 \end{vmatrix} = 2 \cdot 6 - 4 \cdot 1 = 12 - 4 = 8 $$

Pertanto, il prodotto dei determinanti AB è

$$ \det(A) \cdot \det(B) =-2 \cdot 8 = -16 $$

Il risultato è lo stesso

$$ \det(AB) = \det(A) \cdot \det(B) =-2 \cdot 8 = -16 $$

E così via.