Fasci di rette

Cos'è un fascio di rette

Un fascio di rette è un insieme di rette del piano individuate tramite un determinato criterio di selezione.

Esistono due tipi di fasci di rette: propri e impropri

Fascio improprio di rette

Un fascio improrio di rette è l'insieme di tutte le rette parallele a una determinata retta r del piano.
esempio di fasci di rette impropri

L'equazione cartesiana del fascio improprio di rette è

$$ ax + by + c = 0 $$

Dove i coefficienti a e b sono non nulli.

Ogni retta è individuata da un determinato valore di c.

Nota. Anche la retta r, quella a cui sono parallele tutte le altre, è caratterizzata da un determinato valore di c.

In alternativa, posso scrivere l'equazione del fascio improprio di rette in forma esplicita

$$ y = mx + q $$

In questo caso ogni retta è caratterizzata da un valore diverso del termine q.

Per q=0 la retta passa per l'origine.

il fascio improprio di rette

Nota. Il termine q indica l'intercetta sull'asse delle ordinate, ossia il punto in cui la retta interseca l'asse y quando x=0.

L'equazione parametrica del fascio di rette è

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} l \\ m \end{pmatrix} $$

In questo caso ogni retta del fascio improprio è individuata al variare della combinazione (x0,y0).

Il vettore direttore ( l,m) è invece sempre lo stesso in ogni retta parallela.

Esempio

L'equazione cartesiana di una retta è

$$ 2x +3y - 12 = 0 $$

Modificando il parametro c=12 con altri valori ottengo le infinite rette parallele del fascio improprio.

un esempio di fascio improprio

Posso scrivere il fascio di rette anche come equazione parametrica.

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} l \\ m \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{2}{3} \end{pmatrix} $$

Modificando il parametro (0,4) dell'intercetta ottengo tutte le altre rette, lasciando invariato il vettore direttore.

Il risultato è sempre lo stesso.

Fascio proprio di rette

Un fascio proprio di rette è l'insieme di tutte le rette che passano per un particolare punto (A) del piano detto centro di fascio.
esempio di fasci di rette propri

L'equazione del fascio proprio di rette con centro un punto di coordinate (x0,y0) è

$$ y-y_0 = m \cdot (x-x_0) $$

Al variare del coefficiente angolare m∈R ottengo tutte le rette del fascio di rette proprio passanti per il punto A tranne la retta parallela all'asse y.

Nota. La retta parallela all'asse y non è esprimibile con l'equazione della retta in forma esplicita y=mx perché non esiste alcun valore m che ne fornisca l'equazione. Nel caso delle rette parallele all'asse y si utilizza l'equazione x=x0. $$ x = x_0 $$

Pertanto il fascio completo di rette è descritto con le equazioni

$$ \begin{cases} y-y_0 = m \cdot (x-x_0) \\ \\ x=x_0 \ \ \ \text{se la retta è parallela all'asse y} \end{cases} $$

Esempio

Considero un centro di fascio C

$$ C = \begin{pmatrix} x_0 = 2 \\ y_0 = 3 \end{pmatrix} $$

Le equazioni del centro di fascio sono rappresentabili con queste due equazioni

$$ y-y_0 = m \cdot (x-x_0) $$

$$ x = x_0 $$

Sapendo che x0=2 e y0=3 le equazioni del fascio di rette diventano

$$ y-3 = m \cdot (x-2) $$

$$ x = 2 $$

La prima equazione y-3=m(x-2) rappresenta tutte le rette al variare del coefficiente angolare m tranne la retta parallela all'asse y.

La seconda equazione x=2 rappresenta la retta parallela all'asse y (retta di colore rosso).

il fascio di rette proprio

Dimostrazione

Un fascio di rette proprio ha come centro il punto P alle coordinate (x0;y0)

$$ P(x_0;y_0) $$

Una generica retta del fascio proprio deve passare per il punto P(x0;y0)

$$ y = mx +q $$

Sostituisco y=y0 e x=x0

$$ y_0 = mx_0 +q $$

Poi esplicito il termine q

$$ q = y_0 -mx_0 $$

Sostituisco il termine q=y0-mx nell'equazione generica di una retta.

$$ y = mx +q $$

$$ y = mx + (y_0 -mx_0) $$

$$ y = mx + y_0 -mx_0 $$

Separo le variabili y e x nei due membri dell'equazione

$$ y - y_ 0 = mx -mx_0 $$

$$ y - y_ 0 = m (x -x_0) $$

Il risultato finale è l'equazione del fascio proprio di rette.

Nota. L'equazione rappresenta tutte le rette del fascio proprio tranne la retta parallela all'asse x. Per quest'ultima devo usare un'equazione apposita x=x0.

Dimostrazione alternativa

Se il punto A del piano ha le seguenti coordinate

$$ A = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} $$

allora l'equazione cartesiana di tutte le rette del fascio proprio di rette è

$$ h(x-x_0) + k(y-y_0) = 0 $$

Dove h e k sono coefficienti che ancora non conosco

Divido entrambi i membri dell'equazione per k.

$$ \frac{h(x-x_0)}{k} + \frac{k(y-y_0)}{k} = 0 $$

$$ \frac{h(x-x_0)}{k} + y-y_0 = 0 $$

Poi separo le variabili y e x nei due membri dell'equazione

$$ y-y_0 = -\frac{h}{k} \cdot (x-x_0) $$

Il rapporto -h/k è il coefficiente angolare (m) delle rette.

Lo sostituisco con m e riscrivo l'equazione del fascio delle rette in forma esplicita.

$$ y-y_0 = m \cdot (x-x_0) $$

Ogni retta del fascio proprio di rette è individuata da un particolare valore del coefficiente angolare m.

Attenzione. Nel caso particolare in cui la retta è parallela all'asse y, ossia è verticale, l'equazione non funziona perché m è indeterminata. In questo caso l'equazione della retta è x-x0=0.

Esempio

Prendo come riferimento un punto C

$$ C = \begin{pmatrix} x_0 = 2 \\ y_0 = 3 \end{pmatrix} $$

Quindi, le rette del fascio proprio di rette con centro C sono rappresentate dall'equazione

$$ y-y_0 = -\frac{h}{k} \cdot (x-x_0) $$

$$ y-3 = -\frac{h}{k} \cdot (x-2) $$

$$ y = -\frac{h}{k} \cdot (x-2) + 3 $$

Per ogni combinazione dei parametri h e k esiste una retta passante per il punto C.

il fascio proprio di rette con centro C

E così via.

 


 

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Rappresentazione vettoriale della retta