La teoria degli insiemi
La teoria degli insiemi si basa sull'utilizzo del concetto di insieme nel linguaggio logico-matematico.
La definizione di insieme
Un insieme è una collezione di oggetti, detti elementi o membri, accomunati da una particolare proprietà. E' anche detto classe, aggregato o famiglia.
Si tratta di un concetto primitivo perché non è possibile definire l'insieme richiamando altri concetti.
In un insieme non è importante l'ordine degli elementi.
La rappresentazione degli insiemi
Nel linguaggio logico-matematico gli insiemi sono indicati da lettere maiuscole ( A, B, C, D, ... ).
Gli elementi dell'insieme sono invece indicati con le lettere minuscole ( a, b, c, d, ... ).
I simboli di appartenenza e non appartenenza
Il simbolo di appartenenza a un insieme è ∈.
Si legge "l'elemento a appartiene all'insieme A".
Il simbolo di non appartenenza a un insieme è ∉.
Si legge "l'elemento a NON appartiene all'insieme A".
La notazione elencativa e comprensiva
Un insieme molto semplice è rappresentato dall'elenco degli elementi che lo compongono tra parentesi graffe, separati tra loro da una virgola.
E' detta notazione elencativa.
Gli eventuali elementi ripetuti nell'insieme vanno indicati una sola volta nella notazione elencativa.
Questa rappresentazione è utile quando l'insieme è finito ed è composto da pochi elmenti.
E' invece scomoda quando l'insieme ha molti elementi.
Nota. A volte si utilizzano anche i puntini ... quando la regola di appartenenza all'insieme è abbastanza chiara e gli elementi non esplicitamente indicati sono comunque implicitamente comprensibili. Ad esempio, A={1,2,...,10} equivale a dire i numeri naturali da 1 a 10.
Un insieme può essere anche rappresentato tramite una notazione comprensiva che si basa sulla regola o proprietà di appartenenza all'insieme.
Questa notazione è utile se l'insieme ha molti o infiniti elementi.
Le variabili e la regola di appartenenza sono indicate tra parentesi graffe utilizzando il linguaggio formale della logica matematica.
Esempio. Nella notazione comprensiva numeri naturali da 1 a 10 sono rappresentati da A={x∈N:0<x≤10}.
Pro e contro delle notazioni
Posso usare la notazione comprensiva per rappresentare qualsiasi tipo di insieme, finito o infinito, purché gli elementi siano indivuabili da uno o più criteri.
La notazione elencativa posso invece usarla soltanto se:
- se un insieme finito è composto da pochi elementi
- se un insieme finito/infinito può essere rappresentato indicando esplicitamente soltanto alcuni elementi e sottintendere tutti gli altri.
Gli insiemi finiti e infiniti
Un insieme può essere finito o infinito.
- Un insieme finito è composto da un numero finito n di elementi.
- Un insieme infinito è composto da un numero infinito di elementi.
