La teoria degli insiemi

La teoria degli insiemi si basa sull'utilizzo del concetto di insieme nel linguaggio logico-matematico.

La definizione di insieme

Un insieme è una collezione di oggetti, detti elementi o membri, accomunati da una particolare proprietà. E' anche detto classe, aggregato o famiglia.
definizione insieme

Si tratta di un concetto primitivo perché non è possibile definire l'insieme richiamando altri concetti.

In un insieme non è importante l'ordine degli elementi.

La rappresentazione degli insiemi

Nel linguaggio logico-matematico gli insiemi sono indicati da lettere maiuscole ( A, B, C, D, ... ).

Gli elementi dell'insieme sono invece indicati con le lettere minuscole ( a, b, c, d, ... ).

I simboli di appartenenza e non appartenenza

Il simbolo di appartenenza a un insieme è ∈.

Si legge "l'elemento a appartiene all'insieme A".

un esempio di appartenenza di un elemento a un insieme

Il simbolo di non appartenenza a un insieme è ∉.

Si legge "l'elemento a NON appartiene all'insieme A".

un esempio di non appartenenza di un elemento a un insieme

La notazione elencativa e comprensiva

Un insieme molto semplice è rappresentato dall'elenco degli elementi che lo compongono tra parentesi graffe, separati tra loro da una virgola.

un esempio di insieme nella rappresentazione a elenco

E' detta notazione elencativa.

Gli eventuali elementi ripetuti nell'insieme vanno indicati una sola volta nella notazione elencativa.

Questa rappresentazione è utile quando l'insieme è finito ed è composto da pochi elmenti.

E' invece scomoda quando l'insieme ha molti elementi.

Nota. A volte si utilizzano anche i puntini ... quando la regola di appartenenza all'insieme è abbastanza chiara e gli elementi non esplicitamente indicati sono comunque implicitamente comprensibili. Ad esempio, A={1,2,...,10} equivale a dire i numeri naturali da 1 a 10.
la notazione dell'insieme con i puntini

Un insieme può essere anche rappresentato tramite una notazione comprensiva che si basa sulla regola o proprietà di appartenenza all'insieme.

Questa notazione è utile se l'insieme ha molti o infiniti elementi.

la notazione comprensiva degli insiemi

Le variabili e la regola di appartenenza sono indicate tra parentesi graffe utilizzando il linguaggio formale della logica matematica.

Esempio. Nella notazione comprensiva numeri naturali da 1 a 10 sono rappresentati da A={x∈N:0<x≤10}.
un esempio di rappresentazione dell'insieme con la notazione comprensiva

Pro e contro delle notazioni

Posso usare la notazione comprensiva per rappresentare qualsiasi tipo di insieme, finito o infinito, purché gli elementi siano indivuabili da uno o più criteri.

La notazione elencativa posso invece usarla soltanto se:

  • se un insieme finito è composto da pochi elementi
  • se un insieme finito/infinito può essere rappresentato indicando esplicitamente soltanto alcuni elementi e sottintendere tutti gli altri.

Gli insiemi finiti e infiniti

Un insieme può essere finito o infinito.

  • Un insieme finito è composto da un numero finito n di elementi.
  • Un insieme infinito è composto da un numero infinito di elementi.


 
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