Insieme illimitato

Cos'è un insieme illimitato

Un insieme A è un insieme illimitato se i suoi estremi sono più e meno infinito. $$ inf(A)=-\infty $$ $$ sup(A)=+\infty $$

• L'insieme è detto illimitato inferiormente se l'estremo inferiore è meno infinito (-∞).
• L'insieme è detto illimitato superiormente se l'estremo superiore è più infinito (+∞).
• E' detto insieme illimitato se entrambi gli estremi sono infiniti.

In generale, un insieme \( A \subset \mathbb{R} \) è illimitato inferiormente se, scelto un qualunque numero reale \( M \), esiste almeno un elemento dell’insieme minore di \( M \). In altre parole, l’insieme non possiede un limite inferiore finito.

$$ \forall \ M \in \mathbb{R} \ \exists \ x \in A \mid x < M $$

Un insieme \( A \subset \mathbb{R} \) è illimitato superiormente se, scelto un qualunque numero reale \( M \), esiste almeno un elemento dell’insieme maggiore di \( M \). In questo caso, l’insieme non possiede un limite superiore finito.

$$ \forall \ M \in \mathbb{R} \ \exists \ x \in A \mid x > M $$

Se un insieme è illimitato sia inferiormente che superiormente, si dice insieme illimitato senza specificare altro.

Nota. Un insieme è invece detto limitato se è limitato sia inferiormente che superiormente, cioè se esistono due numeri reali \( m \) e \( M \) tali che $ m \le x \le M \quad \forall x \in A $.

Un esempio pratico

Esempio 1

L'insieme dei numeri reali R è illimitato.

$$ inf(R) = -\infty $$

$$ sup(R) = +\infty $$

In questo caso sia l'estremo inferiore che l'estremo superiore sono infiniti.

Qualunque numero reale consideri, è sempre possibile trovarne uno maggiore e uno minore.

Esempio 2

L'insieme dei numeri naturali N è illimitato superiormente.

$$ inf(N) = 0 $$

$$ sup(N) = +\infty $$

In questo caso solo l'estremo superiore è infinito (+∞). L'estremo inferiore (0) è invece un numero finito.

In altre parole, preso un qualsiasi numero naturale, posso sempre trovarne un altro maggiore.

Esempio 3

L'insieme dei numeri reali negativi R^- è illimitato inferiormente.

$$ inf(R^-) = -\infty $$

$$ sup(R^-) = 0 $$

In questo caso solo l'estremo inferiore è infinito (-∞). L'estremo superiore (0) è invece un numero finito.

In altre parole, preso un qualsiasi numero reale negativo, posso sempre trovarne un altro minore.

E così via.