Gli estremi di un insieme
Cosa sono gli estremi
- Ogni insieme non vuoto ammette sempre un estremo superiore e inferiore.
- Negli insiemi limitati gli estremi sono numeri finiti.
- Negli insiemi illimitati gli estremi sono i simboli più o meno infinito (±∞).
Un insieme può anche essere limitato superiormente (estremo finito) e illimitato inferiormente (estremo infinito), o viceversa.
Nota. Gli estremi di un insieme possono appartenere o meno all'insieme.
Per capire questi concetti è utile approfondire la conoscenza degli estremi inferiori e superiori con degli esempi pratici.
L'estremo inferiore
Dato un insieme A è un sottoinsieme B $$ B ⊆ A $$ l'estremo inferiore dell'insieme B è un elemento a∈A minore o uguale di ogni elemento di b∈B. $$ inf(B) = a \le b \:\:\: a \in A, b \in B $$
- Negli insiemi limitati l'estremo inferiore è il massimo tra i minoranti.
Ad esempio l'estremo inferiore di B è il numero 3.
- Negli insiemi illimitati l'estremo inferiore è meno infinito (-∞).
Esempio 1
L'insieme A è l'insieme dei numeri reali R nell'intervallo (-∞,+∞).
L'insieme B è l'insieme di 7 numeri reali ed è un sottoinsieme di A.
$$ B = \{ 3, 4, 7, 5, 8, 9, 6 \} $$
L'estremo inferiore dell'insieme B è il numero tre
$$ inf(B) = 3 \le b \:\:\: \forall \: b \in B $$
perché è il numero reale 3 è minore-uguale a tutti gli elementi dell'insieme B.
Nota. In questo caso l'estremo inferiore inf(B)=3 appartiene all'insieme B. Non è detto però che sia sempre così.
Esempio 2
L'insieme A è l'insieme dei numeri reali R nell'intervallo (-∞,+∞).
L'insieme B è l'insieme dei numeri reali positivi R+ ed è un sottoinsieme di A.
L'estremo inferiore dell'insieme B è il numero zero.
$$ inf(B) \le b \:\:\: \forall \: b \in B $$
E' il valore massimo tra i minoranti dell'insieme R+.
Nota. In questo caso l'estremo inferiore inf(B)=0 non appartiene all'insieme B (R+) perché tra lo zero e qualsiasi altro numero reale positivo, esistono altri infiniti punti.
L'estremo superiore
Dato un insieme A è un sottoinsieme B $$ B ⊆ A $$, l'estremo superiore dell'insieme B è un elemento a∈A maggiore o uguale di ogni elemento di b∈B. $$ sup(B) = a \ge b \:\:\: a \in A, b \in B $$
- Negli insiemi limitati l'estremo superiore è il minimo tra i maggioranti.
Ad esempio l'estremo superiore di B è 4.
- Negli insiemi illimitati l'estremo superiore è più infinito (+∞).
Esempio 1
L'insieme A è l'insieme dei numeri reali R nell'intervallo (-∞,+∞).
L'insieme B è l'insieme di 7 numeri reali ed è un sottoinsieme di A.
$$ B = \{ 3, 4, 7, 5, 8, 9, 6 \} $$
L'estremo superiore dell'insieme B è il numero nove
$$ sup(B) = 9 \ge b \:\:\: \forall \: b \in B $$
perché è il numero reale 9 è maggiore-uguale a tutti gli elementi dell'insieme B.
Nota. In questo caso l'estremo inferiore sup(B)=9 appartiene all'insieme B. Non è detto però che sia sempre così.
Esempio 2
L'insieme A è l'insieme dei numeri reali R nell'intervallo (-∞,+∞).
L'insieme B è l'insieme dei numeri reali positivi R- ed è un sottoinsieme di A.
L'estremo inferiore dell'insieme B è meno infinito.
$$ inf(B) = - \infty \le b \:\:\: \forall \: b \in B $$
Nota. In questo caso l'estremo inferiore inf(B)=-∞ appartiene all'insieme B (R-) perché l'insieme reale negativo è illimitato inferiormente. Viceversa, l'estremo superiore sup(B)=0 non appartiene all'insieme B (R-) perché non è un numero reale negativo.
E così via.
