Insieme delle parti

Cos'è l'insieme delle parti?

L'insieme delle parti P(A) è l'insieme dei sottoinsiemi propri e impropri di A. $$ P(A) = \{ S | S ⊆ A \} $$ E' anche detto insieme potenza.

Ogni sottoinsieme S={s1,...} è una parte o componente dell'insieme A.

$$ S ⊆ A $$

Ogni sottoinsieme S è anche un elemento dell'insieme delle parti P(A).

$$ S \in P(A) $$

Nota. In questo caso il sottoinsieme è un elemento perché appartiene all'insieme P(A). Per questa ragione uso la relazione di appartenenza S∈P(A). In questo caso, S non è incluso nell'insieme P(A). S è soltanto incluso nell'insieme A ossia S⊆A.

    Un esempio pratico di insieme delle parti

    L'insieme A è composto dagli elementi a e b.

    $$ A = \{ a,b \} $$

    Gli elementi a,b appartengono all'insieme A

    $$ a,b \in A $$

    Ecco il diagramma di Venn dell'insieme.

    il diagramma di Venn dell'insieme

    All'insieme delle parti P(S) appartengono tutti i sottoinsiemi di A.

    $$ \{ \} \\ \{ a \} \\ \{ b \} \\ \{ a,b \} $$

    Quindi l'insieme delle parti è composto dai seguenti elementi

    $$ P(A) = \{ \{ \} , \{ a \} , \{ b \} , \{ a,b \} \} $$

    ossia

    $$ P(A) = \{ Ø , \{ a \} , \{ b \} , A \} $$

    I sottoinsiemi {a} e {b} sono i sottoinsiemi propri di A.

    I sottoinsiemi Ø e A sono i sottoinsiemi impropri di A.

    Nota. Essendo degli elementi di P(A) posso anche scrivere $$ Ø , \{ a \} , \{ b \} , A \in P(A) $$

    Ecco il diagramma di Venn dell'insieme delle parti P(A).

    l'insieme delle parti P(A)

    Come si può notare anche l'insieme A è un elemento dell'insieme P(A) perché ogni insieme è un sottoinsieme improprio di se stesso

    Perché c'è anche l'insieme vuoto?

    Nella teoria degli insiemi l'insieme vuoto Ø è un sottoinsieme di qualsiasi insieme.

    Quindi, l'insieme vuoto Ø è anche un sottoinsieme di A.

    Per questo motivo Ø è un elemento dell'insieme delle parti P(A).

    L'insieme delle parti dell'insieme vuoto

    Nel caso di un insieme vuoto A=Ø l'insieme delle parti è il seguente:

    $$ P(A) = \{ Ø \} $$

    Devo specificare che {Ø} non è l'insieme vuoto bensì un elemento dell'insieme delle parti.

    Perché l'insieme delle parti è detto anche insieme potenza?

    L'insieme delle parti si chiama anche insieme potenza per via di una sua proprietà.

    Se un insieme A è composto da n elementi, l'insieme delle parti P(A) ha 2n elementi.

    Esempio

    L'insieme A={a,b} ha n=2 elementi.

    L'insieme delle parti P(A) è composto da 2n=22=4 elementi.

    E così via.

     

     


     

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