L'insieme universo
Nella teoria degli insiemi l'universo è un insieme che contiene tutti gli altri insiemi. E' anche detto insieme universale. $$ U = \{ A, B, C, ... \} $$
Il paradosso del barbiere
L'insieme universo genera però delle contraddizioni.
Per spiegarlo ricorro al paradosso del barbiere scritto da Bertrand Russell nel XIX secolo.
- In una città il barbiere rade tutti quelli che non si radono da soli.
- Se il barbiere si rade da solo, non dovrebbe radersi.
- Se il barbiere non si rade da solo, allora dovrebbe radersi.
Chi rade il barbiere?
Allo stesso modo ci si può chiedere se l'insieme universo U appartenga all'insieme universo U.
In teoria, l'insieme universo contiene tutti gli altri insiemi.
- Se U ∈ U allora, l'insieme U dovrebbe essere diverso da U.
- Se U ∉ a U, allora dovrebbe appartenere a U.
Nota. Nel caso dell'insieme universo utilizzo la relazione di appartenenza ∈ ( non quella di inclusione ⊆ ) perché gli elementi dell'insieme universo sono gli altri insiemi. E' quindi corretto scrivere A∈U.
Faccio un altro esempio per completare la spiegazione.
Un insieme S contiene tutti gli insiemi che non contengono se stessi.
- Se S ∈ S allora non dovrebbe contenere se stesso.
- Se S ∉ S allora dovrebbe contenere se stesso.
E' un altra contraddizione.
Come uscire da queste contraddizioni?
Per risolvere questi problemi si può definire l'insieme universo U come l'insieme che contiene tutti gli insiemi con cui si sta lavorando.
In questo modo si restringe il campo ai soli insiemi di riferimento.
Non si considerano tutti gli altri.
