L'insieme universo

Nella teoria degli insiemi l'universo è un insieme che contiene tutti gli altri insiemi. E' anche detto insieme universale. $$ U = \{ A, B, C, ... \} $$

    Il paradosso del barbiere

    L'insieme universo genera però delle contraddizioni.

    Per spiegarlo ricorro al paradosso del barbiere scritto da Bertrand Russell nel XIX secolo.

      In una città il barbiere rade tutti quelli che non si radono da soli.

      Chi rade il barbiere?
    • Se il barbiere si rade da solo, non dovrebbe radersi.
    • Se il barbiere non si rade da solo, allora dovrebbe radersi.

    Allo stesso modo ci si può chiedere se l'insieme universo U appartenga all'insieme universo U.

    In teoria, l'insieme universo contiene tutti gli altri insiemi.

    • Se U ∈ U allora, l'insieme U dovrebbe essere diverso da U.
    • Se U ∉ a U, allora dovrebbe appartenere a U.

    Nota. Nel caso dell'insieme universo utilizzo la relazione di appartenenza ∈ ( non quella di inclusione ⊆ ) perché gli elementi dell'insieme universo sono gli altri insiemi. E' quindi corretto scrivere A∈U.

    Faccio un altro esempio per completare la spiegazione.

    Un insieme S contiene tutti gli insiemi che non contengono se stessi.

    • Se S ∈ S allora non dovrebbe contenere se stesso.
    • Se S ∉ S allora dovrebbe contenere se stesso.

    E' un altra contraddizione.

    Come uscire da queste contraddizioni?

    Per risolvere questi problemi si può definire l'insieme universo U come l'insieme che contiene tutti gli insiemi con cui si sta lavorando.

    In questo modo si restringe il campo ai soli insiemi di riferimento.

    Non si considerano tutti gli altri.

     


     

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