La cardinalità dell'insieme

La cardinalità dell'insieme A è il numero di elementi contenuti da un insieme. Si indica con |A| o Card(A).

Un esempio pratico

L'insieme A ha quattro elementi

$$ A = \{ 1,3,5,7 \} $$

L'insieme ha una cardinalità uguale a 4.

$$ |A|=4 $$

La cardinalità inferiore

Un insieme A ha una cardinalità inferiore rispetto all'insieme B, $$ Card(A) \le Card(B) $$ se esiste un'applicazione iniettiva $$ f:A \rightarrow B. $$

Esempio

Ho due insiemi

$$ A = \{ 1,3,5,7 \} $$

$$ B = \{ 2,4,6,8,10 \} $$

L'applicazione seguente è iniettiva perché collega ogni elemento del primo insieme con un elemento del secondo.

$$ f(a+1)=b $$

Dove a è un elemento qualsiasi dell'insieme A e b un elemento dell'insieme B.

$$ f(1+1)=2 \\ f(3+1)=4 \\ f(5+1)=6 \\ f(7+1)=8 \\ $$

I due insiemi A e B hanno una diversa cardinalità

$$ Card(A)=4 \\ Card(B)=5 $$

Pertanto posso affermare che A ha una cardinalità inferiore di B

$$ Card(A)<Card(B) $$

E così via.