Insieme infinito
Un insieme infinito è composto da un numero infinito di elementi.
Un esempio pratico
L'insieme dei numeri naturali
$$ N = \{ 0,1,2,3,4,... \} $$
è un insieme infinito perché per ogni numero naturale n esiste il successore n+1.
$$ \forall n \in N \rightarrow n+1 \in N $$
Le caratteristiche dell'insieme infinito
Se un insieme è infinito posso metterlo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme.
In altre parole, esiste un sottoinsieme equipotente con l'insieme infinito.
Nota. Un insieme finito e non nullo non è equipollente con nessun sottinsieme. Ogni sottoinsieme ha cardinalità inferiore.
Un esempio pratico
L'insieme dei numeri naturali H
$$ N = \{ 0,1,2,3,4,... \} $$
ha un sottoinsieme composto dai numeri naturali dispari
$$ D = \{ 1,3,5,7,... \} $$
Posso mettere in relazione i due insiemi con la seguente applicazione:
$$ f(n) = 2n+1 $$
Per ogni numero naturale n, esiste un numero dispari pari a 2n+1
$$ f(0)=1 \\ f(1)=3 \\ f(2)=5 \\ f(3)=7 \\ \vdots $$
Quindi l'applicazione f è iniettiva.
D'altra parte, per ogni numero dispari 2n+1 esiste un numero naturale n
$$ f^{-1}(1)=0 \\ f^{-1}(3)=1 \\ f^{-1}(5)=2 \\ f^{-1}(7)=3 \\ \vdots $$
Quindi l'applicazione è anche suriettiva.
Essendo iniettiva e suriettiva, la corrispondenza è biunivoca.
Pertanto, l'insieme dei numeri naturali e il sottoinsieme dei numeri naturali dispari hanno la stessa potenza (cardinalità) e sono insiemi equipotenti.
Da questo deduco che l'insieme dei numeri naturali N è infinito perché ha una corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme.
