La cardinalità degli insiemi

La cardinalità di un insieme \( X \) indica il numero di elementi contenuti nell'insieme. Per rappresentarla si usa il simbolo \( |X| \)

Questo concetto si estende oltre il semplice conteggio degli elementi, specialmente per insiemi di dimensione infinita.

  • Cardinalità di insiemi finiti
    La cardinalità di un insieme finito è il conteggio diretto dei suoi elementi.

    Ad esempio, se considero una libreria con una collezione di libri. Se la libreria contiene cinque libri, la cardinalità dell'insieme dei libri è cinque, espressa come \( |A| = 5 \), dove \( A \) è l'insieme dei libri.

  • Cardinalità di insiemi infiniti
    La situazione si complica con gli insiemi infiniti, i quali possono differire significativamente nella loro grandezza.

    Ad esempio, l'insieme dei numeri naturali \( \mathbb{N} = \{ 0,1,2,3,... \} \) e quello dei numeri interi \( \mathbb{Z} = \{ ... -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... \} \) sono entrambi infiniti e hanno loro cardinalità "numerabile". Ciò significa che è possibile ordinare i loro elementi in una sequenza infinita. Tuttavia, l'insieme dei numeri naturali è un sottoinsieme dell'insieme dei numeri interi $ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} $ Un altro insieme infinito è l'insieme dei numeri reali \( \mathbb{R} \) che include tutti i punti di una linea continua e presenta una cardinalità "non numerabile" perché tra due punti distinti qualsiasi esistono infiniti altri punti intermedi. Quindi, i numeri interi sono un sottoinsieme dei numeri reali $ \mathbb{Z} \subset \mathbb{R} $, il che lo rende un infinito di grandezza superiore a quello di \( \mathbb{N} \) o \( \mathbb{Z} \).
    i sottoinsiemi dei numeri reali

In sintesi, la cardinalità non è solo una misura quantitativa degli insiemi; perché introduce l'idea che esistano diversi ordini di infinito, rivelando una struttura più complessa rispetto a quanto ci appare a prima vista.

    Osservazioni

    Alcune osservazioni e note a margine

    • Cardinalità di insiemi finiti
      Se A e B sono insiemi finiti e A⊆B, allora il numero di elementi (cardinalità) di A è minore o uguale a quelli di B, ovvero ∣A∣≤∣B∣. In altre parole se l'insieme A è un sottoinsieme di B, allora l'insieme A ha un numero minore o uguale di elementi rispetto all'insieme B. $$ A \subseteq B \Leftrightarrow |A| \le |B| $$

      Esempio. Ho due insiemi $$ A = \{ 1, 2, 3 \} $$ $$ B = \{ 1, 2, 3, 4 \} $$ E' evidente che A è un sottoinsieme di B perché tutti i suoi elementi appartengono anche a B $$ A \subseteq B $$ L'insieme A è composto da tre elementi, quindi la sua cardinalità è |A|=3 mentre l'insieme B ha quattro elementi e la sua cardinalità è |B|=4. La cardinalità del sottoinsieme A è minore-uguale alla cardinalità dell'insieme B $$ |A| \le |B| $$

    • Cardinalità di insiemi uguali
      Se A e B sono insiemi uguali $ A=B $ allora il numero di elementi di A è uguale a quello di B. Pertanto, i due insiemi hanno la stessa cardinalità $ |A|=|B| $. La cardinalità di un insieme indica il numero di elementi contenuti in quell'insieme. Se due insiemi sono uguali, come nel caso degli insiemi \( A \) e \( B \), la loro cardinalità sarà ovviamente la stessa. $$  A = B \Rightarrow |A| = |B| $$

      Esempio. Prendo come esempio due insiemi finiti A e B $$ A = \{1, 2, 3\} $$ $$ B = \{3, 1, 2\} $$ Entrambi gli insiemi contengono gli stessi elementi, anche se in ordine diverso. Quindi, \( A \) e \( B \) sono insiemi uguali e possiamo scrivere \( A = B \). La cardinalità di \( A \) è 3, perché contiene tre elementi unici (1, 2, 3). Analogamente, anche la cardinalità di \( B \) è 3 per lo stesso motivo. Pertanto, gli insiemi A e B hanno la stessa cardinalità. $$ |A| = |B| = 3 $$

    E così via.

     

     


     

    Segnalami un errore, un refuso o un suggerimento per migliorare gli appunti

    FacebookTwitterLinkedinLinkedin
    knowledge base